関数 $y = (x \log x)^2$ の微分を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (x \log x)^2$ の微分を求める。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分を行うために、 $u = x \log x$ と置くと、$y = u^2$ となる。

すると、

$\frac{dy}{du} = 2u$

である。

次に、$u = x \log x$ の微分を計算する。積の微分法を用いると、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x \log x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \log x + x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

となる。

合成関数の微分より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

であるから、これに上記の結果を代入する。

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot (\log x + 1) = 2(x \log x)(\log x + 1)$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2x \log x (\log x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2x \log x (\log x + 1)$