与えられた関数 $f(x) = x^3 e^{-x^2}$ の増減、凹凸、変曲点、極値を調べる。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x^3 e^{-x^2}$ の増減、凹凸、変曲点、極値を調べる。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の一階導関数 $f'(x)$ と二階導関数 $f''(x)$ を計算する。

$f(x) = x^3 e^{-x^2}$

積の微分法を用いる。

$f'(x) = (x^3)' e^{-x^2} + x^3 (e^{-x^2})'$

$f'(x) = 3x^2 e^{-x^2} + x^3 e^{-x^2} (-2x)$

$f'(x) = 3x^2 e^{-x^2} - 2x^4 e^{-x^2}$

$f'(x) = x^2 e^{-x^2} (3 - 2x^2)$

次に、$f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = (x^2 e^{-x^2} (3 - 2x^2))'$

$f''(x) = (x^2 e^{-x^2})' (3 - 2x^2) + x^2 e^{-x^2} (3 - 2x^2)'$

$f''(x) = (2x e^{-x^2} + x^2 e^{-x^2}(-2x)) (3 - 2x^2) + x^2 e^{-x^2} (-4x)$

$f''(x) = (2x e^{-x^2} - 2x^3 e^{-x^2}) (3 - 2x^2) - 4x^3 e^{-x^2}$

$f''(x) = 2x e^{-x^2} (1 - x^2) (3 - 2x^2) - 4x^3 e^{-x^2}$

$f''(x) = 2x e^{-x^2} [(1 - x^2) (3 - 2x^2) - 2x^2]$

$f''(x) = 2x e^{-x^2} [3 - 2x^2 - 3x^2 + 2x^4 - 2x^2]$

$f''(x) = 2x e^{-x^2} [2x^4 - 7x^2 + 3]$

$f''(x) = 2x e^{-x^2} (2x^2 - 1) (x^2 - 3)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$x^2 e^{-x^2} (3 - 2x^2) = 0$ より、$x = 0$ または $3 - 2x^2 = 0$。

$2x^2 = 3$ なので、$x^2 = \frac{3}{2}$ より、$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$。

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。$2x e^{-x^2} (2x^2 - 1) (x^2 - 3) = 0$ より、$x = 0$ または $2x^2 - 1 = 0$ または $x^2 - 3 = 0$。

$2x^2 = 1$ なので、$x^2 = \frac{1}{2}$ より、$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。

$x^2 = 3$ なので、$x = \pm \sqrt{3}$。

$x = 0, \pm \frac{\sqrt{6}}{2}, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \pm \sqrt{3}$ における $f(x), f'(x), f''(x)$ の符号を調べて、増減表を作る。

極大値：$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき、$f(x) = (\frac{\sqrt{6}}{2})^3 e^{-(\sqrt{6}/2)^2} = \frac{6\sqrt{6}}{8} e^{-3/2} = \frac{3\sqrt{6}}{4} e^{-3/2}$

極小値：$x = -\frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき、$f(x) = (-\frac{\sqrt{6}}{2})^3 e^{-(-\sqrt{6}/2)^2} = -\frac{6\sqrt{6}}{8} e^{-3/2} = -\frac{3\sqrt{6}}{4} e^{-3/2}$

変曲点：$x = 0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \pm \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

極大値：$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ で $f(x) = \frac{3\sqrt{6}}{4} e^{-3/2}$

極小値：$x = -\frac{\sqrt{6}}{2}$ で $f(x) = -\frac{3\sqrt{6}}{4} e^{-3/2}$

変曲点：$(0,0), (\frac{\sqrt{2}}{2}, (\frac{\sqrt{2}}{2})^3e^{-1/2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{4}e^{-1/2}), (-\frac{\sqrt{2}}{2}, (-\frac{\sqrt{2}}{2})^3e^{-1/2}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{4}e^{-1/2}), (\sqrt{3}, (\sqrt{3})^3e^{-3}) = (\sqrt{3}, 3\sqrt{3}e^{-3}), (-\sqrt{3}, (-\sqrt{3})^3e^{-3}) = (-\sqrt{3}, -3\sqrt{3}e^{-3})$