関数 $f(x) = \arcsin x$ のマクローリン級数とその収束半径を求める問題です。 (1) $(1 - x^2)f''(x) - xf'(x) = 0$ を示す。 (2) 自然数 $n$ に対して $(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n + 1)xf^{(n+1)}(x) - n^2f^{(n)}(x) = 0$ を示す。 (3) $f^{(n)}(0)$ を求める。 (4) $f(x)$ のマクローリン級数とその収束半径を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \arcsin x$ のマクローリン級数とその収束半径を求める問題です。

(1) $(1 - x^2)f''(x) - xf'(x) = 0$ を示す。

(2) 自然数 $n$ に対して $(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n + 1)xf^{(n+1)}(x) - n^2f^{(n)}(x) = 0$ を示す。

(3) $f^{(n)}(0)$ を求める。

(4) $f(x)$ のマクローリン級数とその収束半径を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = \arcsin x$ より、

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$f''(x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$

$(1-x^2)f''(x) = (1-x^2) \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = xf'(x)$

したがって、$(1 - x^2)f''(x) - xf'(x) = 0$

(2)

$(1 - x^2)f''(x) - xf'(x) = 0$ を $n$ 回微分します。ライプニッツの公式を使うと、

$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (1-x^2)^{(k)} (f''(x))^{(n-k)} - \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x)^{(k)} (f'(x))^{(n-k)} = 0$

$\binom{n}{0}(1-x^2)f^{(n+2)}(x) + \binom{n}{1}(-2x)f^{(n+1)}(x) + \binom{n}{2}(-2)f^{(n)}(x) - \left[ \binom{n}{0}xf^{(n+1)}(x) + \binom{n}{1}(1)f^{(n)}(x) \right] = 0$

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - 2nx f^{(n+1)}(x) - n(n-1)f^{(n)}(x) - xf^{(n+1)}(x) - nf^{(n)}(x) = 0$

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)x f^{(n+1)}(x) - (n^2 - n + n)f^{(n)}(x) = 0$

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)x f^{(n+1)}(x) - n^2f^{(n)}(x) = 0$

(3)

$f(0) = \arcsin 0 = 0$

$f'(0) = \frac{1}{\sqrt{1-0^2}} = 1$

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)x f^{(n+1)}(x) - n^2f^{(n)}(x) = 0$ に $x=0$ を代入すると、

$f^{(n+2)}(0) - n^2 f^{(n)}(0) = 0$

$f^{(n+2)}(0) = n^2 f^{(n)}(0)$

$n=0$ のとき $f^{(2)}(0) = 0^2 f^{(0)}(0) = 0$

$n=1$ のとき $f^{(3)}(0) = 1^2 f^{(1)}(0) = 1$

$n=2$ のとき $f^{(4)}(0) = 2^2 f^{(2)}(0) = 0$

$n=3$ のとき $f^{(5)}(0) = 3^2 f^{(3)}(0) = 3^2 = 9$

$f^{(2k)}(0) = 0$

$f^{(2k+1)}(0) = (2k-1)^2(2k-3)^2 \cdots 1^2 \cdot 1$

(4)

マクローリン級数は

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

$f(x) = x + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{9}{5!}x^5 + \cdots$

$f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{[(2k-1)!!]^2}{(2k+1)!}x^{2k+1}$ ただし $(-1)!! = 1$ とする

収束半径 $R$ を求めるために、比判定法を用いる。

$a_k = \frac{[(2k-1)!!]^2}{(2k+1)!}$

$\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{[(2k+1)!!]^2}{(2k+3)!} \cdot \frac{(2k+1)!}{[(2k-1)!!]^2} = \frac{(2k+1)^2}{(2k+3)(2k+2)} = \frac{4k^2 + 4k + 1}{4k^2 + 10k + 6}$

$\lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = 1$

$\lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}x^{2k+3}}{a_k x^{2k+1}} \right| = |x^2| < 1$ より、 $|x| < 1$

したがって、収束半径は $R = 1$

3. 最終的な答え

マクローリン級数: $\sum_{k=0}^\infty \frac{[(2k-1)!!]^2}{(2k+1)!}x^{2k+1}$

収束半径: $1$