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関数 $f(x) = x^3 e^{-x^2}$ の増減と凹凸を調べ、変曲点と極値を求める問題です。ここで、変曲点とはグラフの凹凸が変わる点のことです。

解析学関数の増減関数の凹凸極値変曲点微分指数関数
2025/6/17

1. 問題の内容

関数 f(x)=x3e−x2f(x) = x^3 e^{-x^2} の増減と凹凸を調べ、変曲点と極値を求める問題です。ここで、変曲点とはグラフの凹凸が変わる点のことです。

2. 解き方の手順

まず、f(x)f(x) の1階微分 f′(x)f'(x) と2階微分 f′′(x)f''(x) を計算します。
f(x)=x3e−x2f(x) = x^3 e^{-x^2}
f′(x)=3x2e−x2+x3(−2x)e−x2=3x2e−x2−2x4e−x2=x2(3−2x2)e−x2f'(x) = 3x^2 e^{-x^2} + x^3 (-2x) e^{-x^2} = 3x^2 e^{-x^2} - 2x^4 e^{-x^2} = x^2 (3-2x^2) e^{-x^2}
f′′(x)=(6x−8x3)e−x2+x2(3−2x2)(−2x)e−x2=(6x−8x3)e−x2+(−6x3+4x5)e−x2=(6x−14x3+4x5)e−x2=2x(2x4−7x2+3)e−x2=2x(2x2−1)(x2−3)e−x2f''(x) = (6x - 8x^3) e^{-x^2} + x^2 (3-2x^2) (-2x) e^{-x^2} = (6x - 8x^3) e^{-x^2} + (-6x^3 + 4x^5) e^{-x^2} = (6x - 14x^3 + 4x^5) e^{-x^2} = 2x(2x^4 - 7x^2 + 3) e^{-x^2} = 2x (2x^2-1)(x^2-3) e^{-x^2}
次に、f′(x)=0f'(x) = 0 となる xx の値を求めます。x2(3−2x2)e−x2=0x^2 (3-2x^2) e^{-x^2} = 0 なので、x=0x = 0 または 3−2x2=03-2x^2=0 すなわち x=±32x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} です。
さらに、f′′(x)=0f''(x) = 0 となる xx の値を求めます。2x(2x2−1)(x2−3)e−x2=02x (2x^2-1)(x^2-3) e^{-x^2} = 0 なので、x=0x = 0 または 2x2−1=02x^2 - 1 = 0 すなわち x=±12x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} または x2−3=0x^2 - 3 = 0 すなわち x=±3x = \pm \sqrt{3} です。
増減表と凹凸表を作成し、f(x)f(x) の増減と凹凸を調べます。
| x | -∞ | −3-\sqrt{3} | −32-\sqrt{\frac{3}{2}} | −12-\frac{1}{\sqrt{2}} | 0 | 12\frac{1}{\sqrt{2}} | 32\sqrt{\frac{3}{2}} | 3\sqrt{3} | ∞ |
|--------------|---------|--------------|------------------------|------------------------|--------|-----------------------|-----------------------|------------|---------|
| f'(x) | - | - | 0 | + | 0 | + | 0 | - | - |
| f''(x) | - | 0 | + | 0 | 0 | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | - | inflection | Minimum | inflection | 0 | inflection | Maximum | inflection | 0 |
極大値は x=32x = \sqrt{\frac{3}{2}} のとき f(32)=(32)3e−(32)2=368e−32f(\sqrt{\frac{3}{2}}) = (\sqrt{\frac{3}{2}})^3 e^{-(\sqrt{\frac{3}{2}})^2} = \frac{3\sqrt{6}}{8} e^{-\frac{3}{2}} です。
極小値は x=−32x = -\sqrt{\frac{3}{2}} のとき f(−32)=(−32)3e−(−32)2=−368e−32f(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = (-\sqrt{\frac{3}{2}})^3 e^{-(-\sqrt{\frac{3}{2}})^2} = -\frac{3\sqrt{6}}{8} e^{-\frac{3}{2}} です。
変曲点は x=−3,−12,0,12,3x = -\sqrt{3}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{3} のときです。
変曲点の座標は (−3,−33e−3),(−12,−122e−12),(0,0),(12,122e−12),(3,33e−3)(-\sqrt{3}, -3\sqrt{3}e^{-3}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{2\sqrt{2}}e^{-\frac{1}{2}}), (0, 0), (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{2}}e^{-\frac{1}{2}}), (\sqrt{3}, 3\sqrt{3}e^{-3}) です。

3. 最終的な答え

極大値: x=32x = \sqrt{\frac{3}{2}} のとき f(32)=368e−32f(\sqrt{\frac{3}{2}}) = \frac{3\sqrt{6}}{8} e^{-\frac{3}{2}}
極小値: x=−32x = -\sqrt{\frac{3}{2}} のとき f(−32)=−368e−32f(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = -\frac{3\sqrt{6}}{8} e^{-\frac{3}{2}}
変曲点: (−3,−33e−3),(−12,−122e−12),(0,0),(12,122e−12),(3,33e−3)(-\sqrt{3}, -3\sqrt{3}e^{-3}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{2\sqrt{2}}e^{-\frac{1}{2}}), (0, 0), (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{2}}e^{-\frac{1}{2}}), (\sqrt{3}, 3\sqrt{3}e^{-3})

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