xの関数yが、媒介変数tを用いて表されているとき、導関数 $\frac{dy}{dx}$ をtの関数として表す問題です。 問題は2つあります。 (1) $x = 3t - 2$, $y = t^2 + 1$ (2) $x = 3\cos t$, $y = 3\sin t$

1. 問題の内容

xの関数yが、媒介変数tを用いて表されているとき、導関数 $\frac{dy}{dx}$ をtの関数として表す問題です。

問題は2つあります。

(1) $x = 3t - 2$, $y = t^2 + 1$

(2) $x = 3\cos t$, $y = 3\sin t$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x$と$y$をそれぞれ$t$で微分します。

$\frac{dx}{dt} = 3$

$\frac{dy}{dt} = 2t$

次に、$\frac{dy}{dx}$を$\frac{dy/dt}{dx/dt}$として計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{3}$

(2)

同様に、$x$と$y$をそれぞれ$t$で微分します。

$\frac{dx}{dt} = -3\sin t$

$\frac{dy}{dt} = 3\cos t$

次に、$\frac{dy}{dx}$を$\frac{dy/dt}{dx/dt}$として計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos t}{-3\sin t} = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\cot t$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{3}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\cot t$