与えられた等式 $4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$ が正しいことを証明する問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$ が正しいことを証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2 \arctan \frac{1}{5}$ を計算します。

$\arctan$ の加法定理 $\arctan x + \arctan y = \arctan \frac{x+y}{1-xy}$ を用います。

$2 \arctan \frac{1}{5} = \arctan \frac{1}{5} + \arctan \frac{1}{5} = \arctan \frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}} = \arctan \frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{25}} = \arctan \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \arctan \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \arctan \frac{5}{12}$.

次に、$4 \arctan \frac{1}{5} = 2 \left( 2 \arctan \frac{1}{5} \right) = 2 \arctan \frac{5}{12}$ を計算します。

同様に $\arctan$ の加法定理を用いると、

$2 \arctan \frac{5}{12} = \arctan \frac{5}{12} + \arctan \frac{5}{12} = \arctan \frac{\frac{5}{12}+\frac{5}{12}}{1-\frac{5}{12}\cdot\frac{5}{12}} = \arctan \frac{\frac{10}{12}}{1-\frac{25}{144}} = \arctan \frac{\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} = \arctan \frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = \arctan \frac{5 \cdot 24}{119} = \arctan \frac{120}{119}$.

したがって、$4 \arctan \frac{1}{5} = \arctan \frac{120}{119}$ です。

ここで、与えられた等式の左辺 $4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}$ を計算します。

$\arctan x - \arctan y = \arctan \frac{x-y}{1+xy}$ を用いると、

$\arctan \frac{120}{119} - \arctan \frac{1}{239} = \arctan \frac{\frac{120}{119} - \frac{1}{239}}{1+\frac{120}{119} \cdot \frac{1}{239}} = \arctan \frac{\frac{120 \cdot 239 - 119}{119 \cdot 239}}{\frac{119 \cdot 239 + 120}{119 \cdot 239}} = \arctan \frac{120 \cdot 239 - 119}{119 \cdot 239 + 120} = \arctan \frac{28680 - 119}{28441 + 120} = \arctan \frac{28561}{28561} = \arctan 1$.

$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ であるため、$4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$