関数 $y = (x-1)^2 \sqrt[3]{x+2}$ を微分せよ。

はい、承知しました。画像にある練習問題6と練習問題7の解き方と解答を以下に示します。

**練習問題6**

1. 問題の内容

関数 $y = (x-1)^2 \sqrt[3]{x+2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。ここで、

$u = (x-1)^2$, $v = \sqrt[3]{x+2} = (x+2)^{\frac{1}{3}}$ とおきます。

まず、$u' = 2(x-1)$ となります。

次に、$v' = \frac{1}{3}(x+2)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$ となります。

したがって、

$y' = u'v + uv' = 2(x-1)\sqrt[3]{x+2} + (x-1)^2 \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

$= \frac{6(x-1)(x+2) + (x-1)^2}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}} = \frac{(x-1)[6(x+2)+(x-1)]}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}} = \frac{(x-1)(6x+12+x-1)}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}} = \frac{(x-1)(7x+11)}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{(x-1)(7x+11)}{3\sqrt[3]{(x+2)^2}}$

**練習問題7**

それぞれの関数の第2次導関数と第3次導関数を求めます。

(1) $y = x^4 + 3x^3 - 7x + 2$

$y' = 4x^3 + 9x^2 - 7$

$y'' = 12x^2 + 18x$

$y''' = 24x + 18$

(2) $y = \sin x$

$y' = \cos x$

$y'' = -\sin x$

$y''' = -\cos x$

(3) $y = e^{2x}$

$y' = 2e^{2x}$

$y'' = 4e^{2x}$

$y''' = 8e^{2x}$