次の関数を、導関数の定義に従って微分する問題です。 (1) $f(x) = x^2$ (2) $f(x) = \sqrt{x}$

1. 問題の内容

次の関数を、導関数の定義に従って微分する問題です。

(1) $f(x) = x^2$

(2) $f(x) = \sqrt{x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2$ の場合

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

です。

この定義に $f(x) = x^2$ を代入すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$

展開して整理すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h)$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$f'(x) = 2x$

(2) $f(x) = \sqrt{x}$ の場合

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

です。

この定義に $f(x) = \sqrt{x}$ を代入すると、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$

分子を有理化するために、$\sqrt{x+h} + \sqrt{x}$ を分子と分母に掛けます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}}$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^2$ のとき、$f'(x) = 2x$

(2) $f(x) = \sqrt{x}$ のとき、$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$