与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の関数を微分します。 (1) $y = \sin(2x - 3)$ (2) $y = \cos^2x$ (3) $y = \tan 3x$ (4) $y = \log 2x$ (5) $y = \log_2(3x + 2)$ (6) $y = x \log 3x$ (7) $y = \log|2x + 3|$ (8) $y = \log_2|x^2 - 4|$

以下に、画像にある数学の問題の解答を記載します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の関数を微分します。

(1) $y = \sin(2x - 3)$

(2) $y = \cos^2x$

(3) $y = \tan 3x$

(4) $y = \log 2x$

(5) $y = \log_2(3x + 2)$

(6) $y = x \log 3x$

(7) $y = \log|2x + 3|$

(8) $y = \log_2|x^2 - 4|$

2. 解き方の手順

各関数の微分を、以下の手順で求めます。

(1) $y = \sin(2x - 3)$

合成関数の微分法を用います。$u = 2x - 3$ とおくと、$y = \sin u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos u \cdot 2 = 2\cos(2x - 3)$

(2) $y = \cos^2x$

合成関数の微分法を用います。$u = \cos x$ とおくと、$y = u^2$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot (-\sin x) = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x = -\sin 2x$

(3) $y = \tan 3x$

合成関数の微分法を用います。$u = 3x$ とおくと、$y = \tan u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot 3 = \frac{3}{\cos^2 3x} = 3\sec^2 3x$

(4) $y = \log 2x$

合成関数の微分法を用います。$u = 2x$ とおくと、$y = \log u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$

(5) $y = \log_2(3x + 2)$

対数の底の変換公式と合成関数の微分法を用います。

$y = \frac{\log(3x + 2)}{\log 2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log 2} \cdot \frac{1}{3x + 2} \cdot 3 = \frac{3}{(3x + 2)\log 2}$

(6) $y = x \log 3x$

積の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = (x)' \log 3x + x (\log 3x)' = 1 \cdot \log 3x + x \cdot \frac{3}{3x} = \log 3x + 1 = \log 3 + \log x + 1$

または、 $\log 3x + 1$

(7) $y = \log|2x + 3|$

合成関数の微分法を用います。$u = 2x + 3$ とおくと、$y = \log |u|$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2x + 3} \cdot 2 = \frac{2}{2x + 3}$

(8) $y = \log_2|x^2 - 4|$

対数の底の変換公式と合成関数の微分法を用います。

$y = \frac{\log |x^2 - 4|}{\log 2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log 2} \cdot \frac{1}{x^2 - 4} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2 - 4)\log 2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 2\cos(2x - 3)$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\sin 2x$

(3) $\frac{dy}{dx} = 3\sec^2 3x$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{(3x + 2)\log 2}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \log 3x + 1$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{2x + 3}$

(8) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{(x^2 - 4)\log 2}$