(1) $f(x) = \sqrt{1+x}$ のマクローリン展開を3次の項まで求める。 (2) (1)の結果を利用して、$\sqrt{1.1}$の近似値を求める。 (3) $f(x) = \cos^2 x$ のマクローリン展開を3次の項まで求める。 (4) (3)の結果を利用して、$\cos^2 \frac{1}{5}$ の近似値を求める。

1. 問題の内容

(1) $f(x) = \sqrt{1+x}$ のマクローリン展開を3次の項まで求める。

(2) (1)の結果を利用して、$\sqrt{1.1}$の近似値を求める。

(3) $f(x) = \cos^2 x$ のマクローリン展開を3次の項まで求める。

(4) (3)の結果を利用して、$\cos^2 \frac{1}{5}$ の近似値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sqrt{1+x}$ のマクローリン展開を求める。

$f(x) = (1+x)^{1/2}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(1+x)^{-3/2}$

$f'''(x) = \frac{3}{8}(1+x)^{-5/2}$

$f(0) = 1$

$f'(0) = \frac{1}{2}$

$f''(0) = -\frac{1}{4}$

$f'''(0) = \frac{3}{8}$

マクローリン展開は次のようになる。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 + ...$

(2) (1)の結果を利用して、$\sqrt{1.1}$の近似値を求める。

$\sqrt{1.1} = \sqrt{1 + \frac{1}{10}}$

$x = \frac{1}{10}$ を (1) の展開式に代入する。

$\sqrt{1.1} \approx 1 + \frac{1}{2}(\frac{1}{10}) - \frac{1}{8}(\frac{1}{10})^2 + \frac{1}{16}(\frac{1}{10})^3$

$= 1 + \frac{1}{20} - \frac{1}{800} + \frac{1}{16000}$

$= 1 + \frac{400}{8000} - \frac{10}{8000} + \frac{0.5}{8000}$

$= 1 + \frac{390.5}{8000}$

$= 1 + \frac{781}{16000}$

$= \frac{16000 + 781}{16000}$

$= \frac{16781}{16000}$

(3) $f(x) = \cos^2 x$ のマクローリン展開を求める。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - ...$

$\cos^2 x = \frac{1 + 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - ...}{2}$

$= 1 - \frac{4x^2}{4} + \frac{16x^4}{48} - ...$

$= 1 - x^2 + \frac{x^4}{3} - ...$

したがって、3次の項まででは

$f(x) = 1 - x^2$

(4) (3)の結果を利用して、$\cos^2 \frac{1}{5}$ の近似値を求める。

$x = \frac{1}{5}$ を (3) の展開式に代入する。

$\cos^2 \frac{1}{5} \approx 1 - (\frac{1}{5})^2$

$= 1 - \frac{1}{25}$

$= \frac{25 - 1}{25}$

$= \frac{24}{25}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3$

(2) $\frac{16781}{16000}$

(3) $f(x) = 1 - x^2$

(4) $\frac{24}{25}$