2つの曲面 $z = f(x, y)$ について、指定された点における接平面の方程式を求め、その方程式の係数を答える問題です。 (1) $z = f(x, y) = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ の点 $(2, \frac{2\sqrt{3}}{3}, f(2, \frac{2\sqrt{3}}{3}))$ における接平面の方程式を $z = Ax + By + C$ の形で求め、A, B, Cに当てはまる数を答えます。 (2) $z = f(x, y) = \log(\frac{x^2+y^2}{x+y+2})$ の点 $(2, 1, f(2, 1))$ における接平面の方程式を $z = Dx + Ey + F$ の形で求め、D, E, Fに当てはまる数を答えます。

1. 問題の内容

2つの曲面 $z = f(x, y)$ について、指定された点における接平面の方程式を求め、その方程式の係数を答える問題です。

(1) $z = f(x, y) = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ の点 $(2, \frac{2\sqrt{3}}{3}, f(2, \frac{2\sqrt{3}}{3}))$ における接平面の方程式を $z = Ax + By + C$ の形で求め、A, B, Cに当てはまる数を答えます。

(2) $z = f(x, y) = \log(\frac{x^2+y^2}{x+y+2})$ の点 $(2, 1, f(2, 1))$ における接平面の方程式を $z = Dx + Ey + F$ の形で求め、D, E, Fに当てはまる数を答えます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(2, \frac{2\sqrt{3}}{3})$ を計算します。

$f(2, \frac{2\sqrt{3}}{3}) = \tan^{-1}(\frac{2\sqrt{3}/3}{2}) = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$

次に、偏微分を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = \frac{-y}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (\frac{1}{x}) = \frac{x}{x^2 + y^2}$

点 $(2, \frac{2\sqrt{3}}{3})$ における偏微分の値を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x}(2, \frac{2\sqrt{3}}{3}) = \frac{-2\sqrt{3}/3}{4 + 4/3} = \frac{-2\sqrt{3}/3}{16/3} = \frac{-2\sqrt{3}}{16} = -\frac{\sqrt{3}}{8}$

$\frac{\partial z}{\partial y}(2, \frac{2\sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{4 + 4/3} = \frac{2}{16/3} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

接平面の方程式は以下の通りです。

$z - \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{8}(x - 2) + \frac{3}{8}(y - \frac{2\sqrt{3}}{3})$

$z = -\frac{\sqrt{3}}{8}x + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3}{8}y - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{6}$

$z = -\frac{\sqrt{3}}{8}x + \frac{3}{8}y + \frac{\pi}{6}$

(2)

まず、$f(2, 1)$ を計算します。

$f(2, 1) = \log(\frac{2^2+1^2}{2+1+2}) = \log(\frac{5}{5}) = \log(1) = 0$

次に、偏微分を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x+y+2}{x^2+y^2} \cdot \frac{2x(x+y+2) - (x^2+y^2)}{(x+y+2)^2} = \frac{2x^2+2xy+4x - x^2 - y^2}{(x^2+y^2)(x+y+2)} = \frac{x^2+2xy+4x-y^2}{(x^2+y^2)(x+y+2)}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x+y+2}{x^2+y^2} \cdot \frac{2y(x+y+2) - (x^2+y^2)}{(x+y+2)^2} = \frac{2xy+2y^2+4y - x^2 - y^2}{(x^2+y^2)(x+y+2)} = \frac{y^2+2xy+4y-x^2}{(x^2+y^2)(x+y+2)}$

点 $(2, 1)$ における偏微分の値を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x}(2, 1) = \frac{4+4+8-1}{(4+1)(2+1+2)} = \frac{15}{5 \cdot 5} = \frac{3}{5}$

$\frac{\partial z}{\partial y}(2, 1) = \frac{1+4+4-4}{(4+1)(2+1+2)} = \frac{5}{5 \cdot 5} = \frac{1}{5}$

接平面の方程式は以下の通りです。

$z - 0 = \frac{3}{5}(x - 2) + \frac{1}{5}(y - 1)$

$z = \frac{3}{5}x - \frac{6}{5} + \frac{1}{5}y - \frac{1}{5}$

$z = \frac{3}{5}x + \frac{1}{5}y - \frac{7}{5}$

3. 最終的な答え

(1)

[10]: $-\frac{\sqrt{3}}{8}$

[11]: $\frac{3}{8}$

[12]: $\frac{\pi}{6}$

(2)

[13]: $\frac{3}{5}$

[14]: $\frac{1}{5}$

[15]: $-\frac{7}{5}$