以下の4つの積分を計算します。 (1) $\int (\csc x + \tan x) \cos x \, dx$ (2) $\int \frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} \, dx$ (3) $\int \cos 5x \cos 3x \, dx$ (4) $\int \cos^2 \frac{x}{4} \, dx$

はい、承知いたしました。問題文に沿って、積分問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の4つの積分を計算します。

(1) $\int (\csc x + \tan x) \cos x \, dx$

(2) $\int \frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} \, dx$

(3) $\int \cos 5x \cos 3x \, dx$

(4) $\int \cos^2 \frac{x}{4} \, dx$

2. 解き方の手順

(1)

$\csc x = \frac{1}{\sin x}$、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を利用します。

\begin{align*}

\int (\csc x + \tan x) \cos x \, dx &= \int \left( \frac{1}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x} \right) \cos x \, dx \\

&= \int \left( \frac{\cos x}{\sin x} + \sin x \right) \, dx \\

&= \int (\cot x + \sin x) \, dx \\

&= \int \cot x \, dx + \int \sin x \, dx \\

&= \log |\sin x| - \cos x + C

\end{align*}

(2)

$\frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} = \tan^2 4x$ を利用します。

また、$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ を利用します。

\begin{align*}

\int \frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} \, dx &= \int \tan^2 4x \, dx \\

&= \int (\sec^2 4x - 1) \, dx \\

&= \int \sec^2 4x \, dx - \int 1 \, dx \\

&= \frac{1}{4} \tan 4x - x + C

\end{align*}

(3)

積和の公式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)]$ を利用します。

\begin{align*}

\int \cos 5x \cos 3x \, dx &= \int \frac{1}{2} [\cos (5x+3x) + \cos (5x-3x)] \, dx \\

&= \frac{1}{2} \int (\cos 8x + \cos 2x) \, dx \\

&= \frac{1}{2} \left( \int \cos 8x \, dx + \int \cos 2x \, dx \right) \\

&= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{8} \sin 8x + \frac{1}{2} \sin 2x \right) + C \\

&= \frac{1}{16} \sin 8x + \frac{1}{4} \sin 2x + C

\end{align*}

(4)

半角の公式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を利用します。

\begin{align*}

\int \cos^2 \frac{x}{4} \, dx &= \int \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2} \, dx \\

&= \frac{1}{2} \int \left( 1 + \cos \frac{x}{2} \right) \, dx \\

&= \frac{1}{2} \left( \int 1 \, dx + \int \cos \frac{x}{2} \, dx \right) \\

&= \frac{1}{2} \left( x + 2 \sin \frac{x}{2} \right) + C \\

&= \frac{1}{2} x + \sin \frac{x}{2} + C

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $\log |\sin x| - \cos x + C$

(2) $\frac{1}{4} \tan 4x - x + C$

(3) $\frac{1}{16} \sin 8x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(4) $\frac{1}{2} x + \sin \frac{x}{2} + C$