関数 $y = x^2 - 2ax$ ($0 \le x \le 1$) の最大値と最小値を、以下の各場合について求める問題です。 (1) $0 < a < \frac{1}{2}$ (2) $a = \frac{1}{2}$ (3) $\frac{1}{2} < a < 1$ (4) $a = 1$

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax$ ($0 \le x \le 1$) の最大値と最小値を、以下の各場合について求める問題です。

(1) $0 < a < \frac{1}{2}$

(2) $a = \frac{1}{2}$

(3) $\frac{1}{2} < a < 1$

(4) $a = 1$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax = (x - a)^2 - a^2$

この関数は下に凸な放物線であり、軸は $x = a$ です。定義域は $0 \le x \le 1$ です。

(1) $0 < a < \frac{1}{2}$ の場合:

軸 $x = a$ は定義域 $0 \le x \le 1$ の中にあり、軸が区間の中央より左にあります。したがって、

最大値は $x = 1$ のときで $y = 1 - 2a$

最小値は $x = a$ のときですが、$x=a$は定義域に含まれないので、$y = -a^2$ではないです。定義域に含まれない場合は、定義域の端点で最小値を取ります。軸は$x=a$なので、$x=0$に近いので、$x=0$の時が最大値、$x=1$の時が最小値となります。

最大値は $x=0$のとき $y=0$

最小値は $x=a$に近い$x=0$から最も遠い$x=1$のときなので、$y=1-2a$です。

(2) $a = \frac{1}{2}$ の場合:

軸 $x = \frac{1}{2}$ は定義域 $0 \le x \le 1$ の真ん中にあります。

最大値は $x = 0$ のとき $y = 0$

最大値は $x = 1$ のとき $y = 1 - 2(\frac{1}{2}) = 0$

最小値は $x = \frac{1}{2}$ のとき $y = (\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$

(3) $\frac{1}{2} < a < 1$ の場合:

軸 $x = a$ は定義域 $0 \le x \le 1$ の中にあり、軸が区間の中央より右にあります。したがって、

最大値は $x = 0$ のときで $y = 0$

最小値は $x = 1$ のときで $y = 1 - 2a$

(4) $a = 1$ の場合:

軸 $x = 1$ は定義域 $0 \le x \le 1$ の右端にあります。したがって、

最大値は $x = 0$ のときで $y = 0$

最小値は $x = 1$ のときで $y = 1 - 2(1) = -1$

3. 最終的な答え

(1) $0 < a < \frac{1}{2}$ のとき:

最大値: $0$

最小値: $1 - 2a$

(2) $a = \frac{1}{2}$ のとき:

最大値: $0$

最小値: $-\frac{1}{4}$

(3) $\frac{1}{2} < a < 1$ のとき:

最大値: $0$

最小値: $1 - 2a$

(4) $a = 1$ のとき:

最大値: $0$

最小値: $-1$