2つの放物線 $C_1: y = x^2 - 2ax + 2a^2 + 10$ と $C_2: y = -x^2 + 8x$ が、$x$座標が$t$である点Pを共有し、さらにこの点において共通の接線$l$を持つ。このとき、$a$, $t$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = x^2 - 2ax + 2a^2 + 10$ と $C_2: y = -x^2 + 8x$ が、$x$座標が$t$である点Pを共有し、さらにこの点において共通の接線$l$を持つ。このとき、$a$, $t$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$C_1$と$C_2$が点Pを共有することから、$x=t$のとき、$y$座標が等しいので、

$t^2 - 2at + 2a^2 + 10 = -t^2 + 8t$

$2t^2 - 2at - 8t + 2a^2 + 10 = 0$

$t^2 - (a + 4)t + a^2 + 5 = 0$ ...(1)

よって、ア=4, イ=5

次に、点Pにおける$C_1$と$C_2$の接線の傾きが等しいことから、それぞれの導関数を求めます。

$C_1': y' = 2x - 2a$

$C_2': y' = -2x + 8$

$x = t$のとき、$2t - 2a = -2t + 8$

$4t = 2a + 8$

$a = 2t - 4$ ...(2)

よって、ウ=2, エ=4

(2)を(1)に代入すると、

$t^2 - (2t - 4 + 4)t + (2t - 4)^2 + 5 = 0$

$t^2 - 2t^2 + 4t^2 - 16t + 16 + 5 = 0$

$3t^2 - 16t + 21 = 0$

$(3t - 7)(t - 3) = 0$

$t = 3, \frac{7}{3}$

$t=3$のとき、$a = 2(3) - 4 = 2$

$t = \frac{7}{3}$のとき、$a = 2(\frac{7}{3}) - 4 = \frac{14}{3} - \frac{12}{3} = \frac{2}{3}$

したがって、(a, t) = (2, 3), ($\frac{2}{3}$, $\frac{7}{3}$)

よって、オ=2, カ=3, キ=2, ケ=7, ク=3, コ=3

$a=2$のとき、$t=3$

点Pの座標は、$x=3$なので、$C_2$より、$y = -3^2 + 8(3) = -9 + 24 = 15$

接線$l$の傾きは、$C_2'$より、$-2(3) + 8 = -6 + 8 = 2$

よって、$y - 15 = 2(x - 3)$

$y = 2x - 6 + 15$

$y = 2x + 9$

よって、サ=2, シ=9

$C_1$は、$y = x^2 - 4x + 8 + 10 = x^2 - 4x + 18$

$l$は、$y = 2x + 9$

$x^2 - 4x + 18 = 2x + 9$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x = 3$ (重解)

$C_1$と$l$は$x=3$で接する。

求める面積は、$\int_0^3 (x^2 - 4x + 18 - (2x + 9)) dx = \int_0^3 (x^2 - 6x + 9) dx = \int_0^3 (x - 3)^2 dx = [\frac{1}{3}(x - 3)^3]_0^3 = 0 - \frac{1}{3}(-3)^3 = -\frac{1}{3}(-27) = 9$

よって、ス=9

3. 最終的な答え

ア=4, イ=5, ウ=2, エ=4, (a, t) = (2, 3), ($\frac{2}{3}$, $\frac{7}{3}$), サ=2, シ=9, ス=9