(1) 楕円 $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ 上の点 $(2,1)$ における接線の方程式を求め、その方程式を $x + \boxed{\phantom{1}}y - \boxed{\phantom{2}} = 0$ の形で表す。 (2) 曲線 $y = \frac{e^x}{x}$ に $(0,0)$ から引いた接線の方程式を求め、$y = \frac{e^{\boxed{\phantom{3}}}}{\boxed{\phantom{4}}} x$ の形で表す。

1. 問題の内容

(1) 楕円 $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ 上の点 $(2,1)$ における接線の方程式を求め、その方程式を $x + \boxed{\phantom{1}}y - \boxed{\phantom{2}} = 0$ の形で表す。

(2) 曲線 $y = \frac{e^x}{x}$ に $(0,0)$ から引いた接線の方程式を求め、$y = \frac{e^{\boxed{\phantom{3}}}}{\boxed{\phantom{4}}} x$ の形で表す。

2. 解き方の手順

(1) 楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $\frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1$ で与えられる。

この公式を用いると、与えられた楕円 $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ 上の点 $(2,1)$ における接線の方程式は、

$\frac{2x}{8} + \frac{1y}{2} = 1$ となる。

これを整理すると、

$\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$

両辺に4を掛けると、

$x + 2y = 4$

したがって、接線の方程式は $x + 2y - 4 = 0$ となる。

(2) 曲線 $y = \frac{e^x}{x}$ 上の点 $(t, \frac{e^t}{t})$ における接線を考える。

まず、導関数を求める。

$y' = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$

したがって、点 $(t, \frac{e^t}{t})$ における接線の傾きは $\frac{e^t(t-1)}{t^2}$ である。

よって、接線の方程式は

$y - \frac{e^t}{t} = \frac{e^t(t-1)}{t^2}(x-t)$

この接線が原点 $(0,0)$ を通るので、

$0 - \frac{e^t}{t} = \frac{e^t(t-1)}{t^2}(0-t)$

$-\frac{e^t}{t} = \frac{e^t(t-1)}{t^2}(-t)$

$-\frac{e^t}{t} = -\frac{e^t(t-1)}{t}$

$1 = t-1$

$t = 2$

よって、接点は $(2, \frac{e^2}{2})$ であり、接線の傾きは $\frac{e^2(2-1)}{2^2} = \frac{e^2}{4}$ である。

したがって、接線の方程式は $y = \frac{e^2}{4} x$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $x + 2y - 4 = 0$

(2) $y = \frac{e^2}{4} x$