問題は、$y=2\sin 2\theta - 4(\sin \theta - \cos \theta)$ が与えられたとき、以下の問いに答えるものです。 (1) $\theta = \pi$ のとき、$y$ の値を求めよ。 (2) $t = \sin \theta - \cos \theta$ とおく。$t$ を $t = r \sin(\theta + \alpha)$ ($r > 0$, $-\pi \le \alpha < \pi$) の形で表し、また $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$t$ の取り得る値の範囲を求めよ。 (3) $0 \le \theta \le \pi$ における $y$ の最大値、最小値とそのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は、$y=2\sin 2\theta - 4(\sin \theta - \cos \theta)$ が与えられたとき、以下の問いに答えるものです。

(1) $\theta = \pi$ のとき、$y$ の値を求めよ。

(2) $t = \sin \theta - \cos \theta$ とおく。$t$ を $t = r \sin(\theta + \alpha)$ ($r > 0$, $-\pi \le \alpha < \pi$) の形で表し、また $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$t$ の取り得る値の範囲を求めよ。

(3) $0 \le \theta \le \pi$ における $y$ の最大値、最小値とそのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \pi$ を $y$ の式に代入します。

$y = 2\sin(2\pi) - 4(\sin \pi - \cos \pi) = 2(0) - 4(0 - (-1)) = -4$

(2) $t = \sin \theta - \cos \theta$ を $t = r \sin(\theta + \alpha)$ の形で表します。

$t = \sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta \right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin \theta - \sin \frac{\pi}{4} \cos \theta \right) = \sqrt{2} \sin \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right)$.

よって、$r = \sqrt{2}$、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$ です。

$0 \le \theta \le \pi$ より、$-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$ となります。

したがって、$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin(\theta - \frac{\pi}{4}) \le 1$ より、

$-\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{2} \le \sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4}) \le 1 \sqrt{2}$

$-1 \le t \le \sqrt{2}$ となります。

(3) $y = 2 \sin 2\theta - 4 (\sin \theta - \cos \theta) = 4 \sin \theta \cos \theta - 4t$ と表されます。

$t = \sin \theta - \cos \theta$ より、$t^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$ となります。

よって、$2 \sin \theta \cos \theta = 1 - t^2$ となり、$4 \sin \theta \cos \theta = 2(1 - t^2)$ です。

したがって、$y = 2(1 - t^2) - 4t = -2t^2 - 4t + 2 = -2(t^2 + 2t) + 2 = -2(t^2 + 2t + 1 - 1) + 2 = -2((t+1)^2 - 1) + 2 = -2(t+1)^2 + 4$.

$-1 \le t \le \sqrt{2}$ より、

$t = -1$ のとき、$y = 4$ (最大値)

このとき、$\sin \theta - \cos \theta = -1$ より、$\sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = -1$ となり、$\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$。

$-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$ なので、$\theta - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$。

よって、$\theta = 0$ (または $\frac{3\pi}{2}$。しかし、$\theta \le \pi$ なので $0$)

$t = \sqrt{2}$ のとき、$y = -2(\sqrt{2}+1)^2 + 4 = -2(2 + 2\sqrt{2} + 1) + 4 = -2(3+2\sqrt{2}) + 4 = -6 - 4\sqrt{2} + 4 = -2 - 4\sqrt{2}$ (最小値)

このとき、$\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2}$ より、$\sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$ となり、$\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = 1$。

$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$。

よって、$\theta = \frac{3\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) -4

(2) $t = \sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4})$, $-1 \le t \le \sqrt{2}$

(3) 最大値：4 ($\theta = 0$)、最小値：$-2 - 4\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{3\pi}{4}$)