以下の定積分を計算します。 (3) $\int \cos 5x \cos 3x \, dx$ (4) $\int \cos^2 \frac{x}{4} \, dx$

1. 問題の内容

以下の定積分を計算します。

(3) $\int \cos 5x \cos 3x \, dx$

(4) $\int \cos^2 \frac{x}{4} \, dx$

2. 解き方の手順

(3) $\cos 5x \cos 3x$ の積を和に変換します。

三角関数の積和の公式より、

$$\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A+B) + \cos(A-B))$$

を用いると、

$$\cos 5x \cos 3x = \frac{1}{2} (\cos(5x+3x) + \cos(5x-3x)) = \frac{1}{2} (\cos 8x + \cos 2x)$$

したがって、

$$\int \cos 5x \cos 3x \, dx = \int \frac{1}{2} (\cos 8x + \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos 8x + \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{8} \sin 8x + \frac{1}{2} \sin 2x \right) + C = \frac{1}{16} \sin 8x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$$

(4) $\cos^2 \frac{x}{4}$ を半角の公式を用いて変形します。

$$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$

より、

$$\cos^2 \frac{x}{4} = \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2}$$

したがって、

$$\int \cos^2 \frac{x}{4} \, dx = \int \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int \left( 1 + \cos \frac{x}{2} \right) \, dx = \frac{1}{2} \left( x + 2 \sin \frac{x}{2} \right) + C = \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} + C$$

3. 最終的な答え

(3) $\int \cos 5x \cos 3x \, dx = \frac{1}{16} \sin 8x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(4) $\int \cos^2 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} + C$