関数 $f(x) = \arcsin x$ のマクローリン級数とその収束半径を求める問題です。 (1) $(1-x^2)f''(x) - xf'(x) = 0$ を示す。 (2) $(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)xf^{(n+1)}(x) - n^2 f^{(n)}(x) = 0$ を示す。 (3) $f^{(n)}(0)$ を求める。 (4) $f(x)$ のマクローリン級数とその収束半径を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \arcsin x$ のマクローリン級数とその収束半径を求める問題です。

(1) $(1-x^2)f''(x) - xf'(x) = 0$ を示す。

(2) $(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)xf^{(n+1)}(x) - n^2 f^{(n)}(x) = 0$ を示す。

(3) $f^{(n)}(0)$ を求める。

(4) $f(x)$ のマクローリン級数とその収束半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \arcsin x$ より、 $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。従って、 $f''(x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$。

よって、

$(1-x^2)f''(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = xf'(x)$.

ゆえに、 $(1-x^2)f''(x) - xf'(x) = 0$ が成り立つ。

(2) $(1-x^2)f''(x) - xf'(x) = 0$ を $n$ 回微分する。ライプニッツの公式を用いると、

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (1-x^2)^{(k)} f^{(n+2-k)}(x) - \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{(k)} f^{(n+1-k)}(x) = 0$

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) + n(-2x)f^{(n+1)}(x) + \frac{n(n-1)}{2}(-2)f^{(n)}(x) - (xf^{(n+1)}(x) + nf^{(n)}(x)) = 0$

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - 2nx f^{(n+1)}(x) - n(n-1)f^{(n)}(x) - xf^{(n+1)}(x) - nf^{(n)}(x) = 0$

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)xf^{(n+1)}(x) - (n^2 - n + n)f^{(n)}(x) = 0$

$(1-x^2)f^{(n+2)}(x) - (2n+1)xf^{(n+1)}(x) - n^2 f^{(n)}(x) = 0$

(3) $x=0$ を代入すると、

$f^{(n+2)}(0) - n^2 f^{(n)}(0) = 0$

$f(0) = \arcsin(0) = 0$, $f'(0) = \frac{1}{\sqrt{1-0}} = 1$, $f''(0) = 0$

$f^{(2n)}(0) = 0$ for $n \ge 0$

$f^{(2n+1)}(0) = (2n)^2 f^{(2n-1)}(0) = (2n)^2 (2n-2)^2 f^{(2n-3)}(0) = \dots = (2n)^2 (2n-2)^2 \dots 2^2 \cdot 1$

$f^{(2n+1)}(0) = 2^{2n} (n!)^2$

(4) マクローリン級数は

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(2n+1)}(0)}{(2n+1)!} x^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!} x^{2n+1}$

$a_n = \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!}$ とおくと、

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{2(n+1)}((n+1)!)^2}{(2(n+1)+1)!} \cdot \frac{(2n+1)!}{2^{2n}(n!)^2} = \frac{4(n+1)^2}{(2n+3)(2n+2)} = \frac{4n^2+8n+4}{4n^2+10n+6} \to 1$ as $n \to \infty$

従って、収束半径は1。

または、$\arcsin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2(2n+1)} x^{2n+1}$. これより収束半径は

1.

3. 最終的な答え

マクローリン級数:

$\arcsin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!} x^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2(2n+1)} x^{2n+1}$

収束半径: 1