与えられた二つの不定積分を、部分積分法を用いて計算します。 一つ目の積分は $\int 20x^4 \log x \, dx$ であり、二つ目の積分は $\int \log(8x) \, dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた二つの不定積分を、部分積分法を用いて計算します。

一つ目の積分は $\int 20x^4 \log x \, dx$ であり、二つ目の積分は $\int \log(8x) \, dx$ です。

2. 解き方の手順

(1) $\int 20x^4 \log x \, dx$ の計算

部分積分法を用いて計算します。$u = \log x$, $dv = 20x^4 \, dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = 4x^5$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用いると、

$\int 20x^4 \log x \, dx = \int \log x \cdot 20x^4 \, dx = 4x^5 \log x - \int 4x^5 \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= 4x^5 \log x - \int 4x^4 \, dx$

$= 4x^5 \log x - \frac{4}{5}x^5 + C$

(2) $\int \log(8x) \, dx$ の計算

部分積分法を用いて計算します。$u = \log(8x)$, $dv = 1 \, dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = x$ となります。

$\int \log(8x) \, dx = \int 1 \cdot \log(8x) \, dx = x \log(8x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= x \log(8x) - \int 1 \, dx$

$= x \log(8x) - x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int 20x^4 \log x \, dx = 4x^5 \log x - \frac{4}{5}x^5 + C$

(2) $\int \log(8x) \, dx = x \log(8x) - x + C$