与えられた積分を、公式14.5を用いて計算する問題です。 (1) $\int \frac{2}{x^2+4} dx$ (2) $\int \frac{8}{x^2-16} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を、公式14.5を用いて計算する問題です。

(1) $\int \frac{2}{x^2+4} dx$

(2) $\int \frac{8}{x^2-16} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{2}{x^2+4} dx$ の計算

まず積分定数2を積分の外に出します。

$2 \int \frac{1}{x^2+4} dx$

次に、$\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ の公式を利用します。$a^2 = 4$なので、$a = 2$となります。

$2 \int \frac{1}{x^2+2^2} dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$

$= \arctan(\frac{x}{2}) + C$

(2) $\int \frac{8}{x^2-16} dx$ の計算

まず積分定数8を積分の外に出します。

$8 \int \frac{1}{x^2-16} dx$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x^2-16} = \frac{1}{(x-4)(x+4)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+4}$

両辺に$(x-4)(x+4)$をかけると

$1 = A(x+4) + B(x-4)$

$x = 4$を代入すると、$1 = 8A$となり、$A = \frac{1}{8}$

$x = -4$を代入すると、$1 = -8B$となり、$B = -\frac{1}{8}$

したがって、

$\frac{1}{x^2-16} = \frac{1}{8} \frac{1}{x-4} - \frac{1}{8} \frac{1}{x+4}$

$8 \int \frac{1}{x^2-16} dx = 8 \int (\frac{1}{8} \frac{1}{x-4} - \frac{1}{8} \frac{1}{x+4}) dx$

$= \int \frac{1}{x-4} dx - \int \frac{1}{x+4} dx$

$= \ln|x-4| - \ln|x+4| + C$

$= \ln|\frac{x-4}{x+4}| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\arctan(\frac{x}{2}) + C$

(2) $\ln|\frac{x-4}{x+4}| + C$