以下の4つの積分を計算します。 (1) $\int (\csc x + \tan x) \cos x \, dx$ (2) $\int \frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} \, dx$ (3) $\int \cos 5x \cos 3x \, dx$ (4) $\int \cos^2 \frac{x}{4} \, dx$

1. 問題の内容

以下の4つの積分を計算します。

(1) $\int (\csc x + \tan x) \cos x \, dx$

(2) $\int \frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} \, dx$

(3) $\int \cos 5x \cos 3x \, dx$

(4) $\int \cos^2 \frac{x}{4} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (\csc x + \tan x) \cos x \, dx$

$\csc x = \frac{1}{\sin x}$、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であるから、

$$$$

\int (\csc x + \tan x) \cos x \, dx = \int \left(\frac{1}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x}\right) \cos x \, dx = \int \left(\frac{\cos x}{\sin x} + \sin x\right) dx

$$$$

$$$$

= \int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx + \int \sin x \, dx

$$$$

$\int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx$ について、 $u = \sin x$ とおくと、$du = \cos x \, dx$ であるから、

$$$$

\int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C_1 = \ln |\sin x| + C_1

$$$$

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C_2$

したがって、

$$$$

\int (\csc x + \tan x) \cos x \, dx = \ln |\sin x| - \cos x + C

$$$$

(2) $\int \frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} \, dx = \int \tan^2 4x \, dx$

$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ より、

$$$$

\int \tan^2 4x \, dx = \int (\sec^2 4x - 1) \, dx = \int \sec^2 4x \, dx - \int 1 \, dx

$$$$

$\int \sec^2 4x \, dx = \frac{1}{4} \tan 4x + C_1$

$\int 1 \, dx = x + C_2$

したがって、

$$$$

\int \frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} \, dx = \frac{1}{4} \tan 4x - x + C

$$$$

(3) $\int \cos 5x \cos 3x \, dx$

積和の公式より、

$\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A+B) + \cos(A-B))$

$$$$

\int \cos 5x \cos 3x \, dx = \int \frac{1}{2} (\cos 8x + \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos 8x + \cos 2x) \, dx

$$$$

$$$$

= \frac{1}{2} \left(\frac{1}{8} \sin 8x + \frac{1}{2} \sin 2x\right) + C = \frac{1}{16} \sin 8x + \frac{1}{4} \sin 2x + C

$$$$

(4) $\int \cos^2 \frac{x}{4} \, dx$

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ より、

$$$$

\int \cos^2 \frac{x}{4} \, dx = \int \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int \left(1 + \cos \frac{x}{2}\right) \, dx = \frac{1}{2} \left(x + 2 \sin \frac{x}{2}\right) + C

$$$$

$$$$

= \frac{1}{2} x + \sin \frac{x}{2} + C

$$$$

3. 最終的な答え

(1) $\ln |\sin x| - \cos x + C$

(2) $\frac{1}{4} \tan 4x - x + C$

(3) $\frac{1}{16} \sin 8x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(4) $\frac{1}{2} x + \sin \frac{x}{2} + C$