以下の4つの積分を計算します。 (1) $\int e^{3x}e^{4x} dx$ (2) $\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{5x}}} dx$ (3) $\int 2^x 3^x dx$ (4) $\int \sqrt{4^x} dx$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の4つの積分を計算します。

(1) $\int e^{3x}e^{4x} dx$

(2) $\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{5x}}} dx$

(3) $\int 2^x 3^x dx$

(4) $\int \sqrt{4^x} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$e^{3x}e^{4x} = e^{3x+4x} = e^{7x}$ より、

$\int e^{3x}e^{4x} dx = \int e^{7x} dx = \frac{1}{7}e^{7x} + C$

(2)

$\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{5x}}} = \frac{e^{2x}}{e^{\frac{5}{2}x}} = e^{2x - \frac{5}{2}x} = e^{\frac{4}{2}x - \frac{5}{2}x} = e^{-\frac{1}{2}x}$

$\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{5x}}} dx = \int e^{-\frac{1}{2}x} dx = -2e^{-\frac{1}{2}x} + C$

(3)

$2^x 3^x = (2\cdot 3)^x = 6^x$

$\int 2^x 3^x dx = \int 6^x dx = \frac{6^x}{\ln 6} + C$

(4)

$\sqrt{4^x} = (4^x)^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{x}{2}} = (e^{\ln 4})^{\frac{x}{2}} = e^{\frac{x}{2}\ln 4} = (e^{\ln 4^{\frac{1}{2}}})^x = 2^x$

$\int \sqrt{4^x} dx = \int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{7}e^{7x} + C$

(2) $-2e^{-\frac{1}{2}x} + C$

(3) $\frac{6^x}{\ln 6} + C$

(4) $\frac{2^x}{\ln 2} + C$