画像に示された微分問題を解きます。具体的には、以下の関数について $y$ の $x$ に関する微分 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。 (5) $y = \frac{2}{2x-1}$ (6) $y = \frac{x^2+2x+2}{x+1}$ (7) $y = \frac{1}{x^2}$ (8) $y = \frac{1}{3x^3}$

1. 問題の内容

画像に示された微分問題を解きます。具体的には、以下の関数について $y$ の $x$ に関する微分 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

(5) $y = \frac{2}{2x-1}$

(6) $y = \frac{x^2+2x+2}{x+1}$

(7) $y = \frac{1}{x^2}$

(8) $y = \frac{1}{3x^3}$

2. 解き方の手順

(5) 商の微分公式 $\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ を用います。$f(x) = 2$、$g(x) = 2x-1$ とすると、$f'(x) = 0$、$g'(x) = 2$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{0 \cdot (2x-1) - 2 \cdot 2}{(2x-1)^2} = \frac{-4}{(2x-1)^2}$

(6) 商の微分公式 $\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ を用います。$f(x) = x^2+2x+2$、$g(x) = x+1$ とすると、$f'(x) = 2x+2$、$g'(x) = 1$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x+2)(x+1) - (x^2+2x+2) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2+4x+2 - x^2-2x-2}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$

(7) $y = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ と書き換えて、べきの微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$

(8) $y = \frac{1}{3x^3} = \frac{1}{3}x^{-3}$ と書き換えて、べきの微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \cdot (-3)x^{-4} = -x^{-4} = -\frac{1}{x^4}$

3. 最終的な答え

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{-4}{(2x-1)^2}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$

(7) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{x^3}$

(8) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^4}$