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$\theta$ が次の値のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値をそれぞれ求めます。 (1) $\theta = \frac{2}{3}\pi$ (2) $\theta = \frac{7}{4}\pi$ (3) $\theta = -\frac{5}{6}\pi$ (4) $\theta = -\frac{19}{6}\pi$

解析学三角関数角度変換sincostan
2025/6/17

1. 問題の内容

θ\theta が次の値のとき、sin⁡θ\sin \theta, cos⁡θ\cos \theta, tan⁡θ\tan \theta の値をそれぞれ求めます。
(1) θ=23π\theta = \frac{2}{3}\pi
(2) θ=74π\theta = \frac{7}{4}\pi
(3) θ=−56π\theta = -\frac{5}{6}\pi
(4) θ=−196π\theta = -\frac{19}{6}\pi

2. 解き方の手順

(1) θ=23π\theta = \frac{2}{3}\pi のとき
sin⁡23π=sin⁡(π−13π)=sin⁡13π=32\sin \frac{2}{3}\pi = \sin(\pi - \frac{1}{3}\pi) = \sin \frac{1}{3}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡23π=cos⁡(π−13π)=−cos⁡13π=−12\cos \frac{2}{3}\pi = \cos(\pi - \frac{1}{3}\pi) = -\cos \frac{1}{3}\pi = -\frac{1}{2}
tan⁡23π=sin⁡23πcos⁡23π=32−12=−3\tan \frac{2}{3}\pi = \frac{\sin \frac{2}{3}\pi}{\cos \frac{2}{3}\pi} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}
(2) θ=74π\theta = \frac{7}{4}\pi のとき
sin⁡74π=sin⁡(2π−14π)=sin⁡(−14π)=−sin⁡14π=−22\sin \frac{7}{4}\pi = \sin(2\pi - \frac{1}{4}\pi) = \sin(-\frac{1}{4}\pi) = -\sin \frac{1}{4}\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}
cos⁡74π=cos⁡(2π−14π)=cos⁡(−14π)=cos⁡14π=22\cos \frac{7}{4}\pi = \cos(2\pi - \frac{1}{4}\pi) = \cos(-\frac{1}{4}\pi) = \cos \frac{1}{4}\pi = \frac{\sqrt{2}}{2}
tan⁡74π=sin⁡74πcos⁡74π=−2222=−1\tan \frac{7}{4}\pi = \frac{\sin \frac{7}{4}\pi}{\cos \frac{7}{4}\pi} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1
(3) θ=−56π\theta = -\frac{5}{6}\pi のとき
sin⁡(−56π)=−sin⁡56π=−sin⁡(π−16π)=−sin⁡16π=−12\sin (-\frac{5}{6}\pi) = -\sin \frac{5}{6}\pi = -\sin (\pi - \frac{1}{6}\pi) = -\sin \frac{1}{6}\pi = -\frac{1}{2}
cos⁡(−56π)=cos⁡56π=cos⁡(π−16π)=−cos⁡16π=−32\cos (-\frac{5}{6}\pi) = \cos \frac{5}{6}\pi = \cos (\pi - \frac{1}{6}\pi) = -\cos \frac{1}{6}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2}
tan⁡(−56π)=sin⁡(−56π)cos⁡(−56π)=−12−32=13=33\tan (-\frac{5}{6}\pi) = \frac{\sin (-\frac{5}{6}\pi)}{\cos (-\frac{5}{6}\pi)} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
(4) θ=−196π\theta = -\frac{19}{6}\pi のとき
−196π=−186π−16π=−3π−16π=−2π−π−16π-\frac{19}{6}\pi = -\frac{18}{6}\pi - \frac{1}{6}\pi = -3\pi - \frac{1}{6}\pi = -2\pi - \pi - \frac{1}{6}\pi
sin⁡(−196π)=sin⁡(−π−16π)=−sin⁡(π+16π)=−(−sin⁡16π)=sin⁡16π=12\sin (-\frac{19}{6}\pi) = \sin (-\pi - \frac{1}{6}\pi) = -\sin (\pi + \frac{1}{6}\pi) = -(-\sin \frac{1}{6}\pi) = \sin \frac{1}{6}\pi = \frac{1}{2}
cos⁡(−196π)=cos⁡(−π−16π)=cos⁡(π+16π)=−cos⁡16π=−32\cos (-\frac{19}{6}\pi) = \cos (-\pi - \frac{1}{6}\pi) = \cos (\pi + \frac{1}{6}\pi) = -\cos \frac{1}{6}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2}
tan⁡(−196π)=sin⁡(−196π)cos⁡(−196π)=12−32=−13=−33\tan (-\frac{19}{6}\pi) = \frac{\sin (-\frac{19}{6}\pi)}{\cos (-\frac{19}{6}\pi)} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}

3. 最終的な答え

(1) sin⁡23π=32\sin \frac{2}{3}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡23π=−12\cos \frac{2}{3}\pi = -\frac{1}{2}, tan⁡23π=−3\tan \frac{2}{3}\pi = -\sqrt{3}
(2) sin⁡74π=−22\sin \frac{7}{4}\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡74π=22\cos \frac{7}{4}\pi = \frac{\sqrt{2}}{2}, tan⁡74π=−1\tan \frac{7}{4}\pi = -1
(3) sin⁡(−56π)=−12\sin (-\frac{5}{6}\pi) = -\frac{1}{2}, cos⁡(−56π)=−32\cos (-\frac{5}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, tan⁡(−56π)=33\tan (-\frac{5}{6}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{3}
(4) sin⁡(−196π)=12\sin (-\frac{19}{6}\pi) = \frac{1}{2}, cos⁡(−196π)=−32\cos (-\frac{19}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, tan⁡(−196π)=−33\tan (-\frac{19}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{3}

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