(1) 複素数 $\alpha_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) が与えられた規則で定義されている。このとき、$S = \alpha_{2024} + \alpha_{2025} + \alpha_{2026}$ を求めよ。 (2) $f(x)$ は2次関数で、$y=f(x)$ は原点を通る。点 $(2, f(2))$ における接線が $y=x+2$ であるとき、$f(x)$ を求めよ。 (3) $-\pi < x \le \pi$ において、不等式 $\sin|x| - \sqrt{3}\cos|x| > 1$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 複素数 $\alpha_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) が与えられた規則で定義されている。このとき、$S = \alpha_{2024} + \alpha_{2025} + \alpha_{2026}$ を求めよ。

(2) $f(x)$ は2次関数で、$y=f(x)$ は原点を通る。点 $(2, f(2))$ における接線が $y=x+2$ であるとき、$f(x)$ を求めよ。

(3) $-\pi < x \le \pi$ において、不等式 $\sin|x| - \sqrt{3}\cos|x| > 1$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\alpha_n$ の規則性を見つける。

$\alpha_1 = 1 + 2 + 3 = 6$

$\alpha_2 = 4i + 5i + 6i = 15i$

$\alpha_3 = -7 - 8 - 9 = -24$

$\alpha_4 = -10i - 11i - 12i = -33i$

一般に、

$\alpha_n = \begin{cases} 3n(n+1)/2 & n \equiv 1 \pmod{4} \\ 3n(n+1)i/2 & n \equiv 2 \pmod{4} \\ -3n(n+1)/2 & n \equiv 3 \pmod{4} \\ -3n(n+1)i/2 & n \equiv 0 \pmod{4} \end{cases}$

$2024 \equiv 0 \pmod{4}$ なので、$\alpha_{2024} = -3(2024)(2025)i/2 = -6132300i$

$2025 \equiv 1 \pmod{4}$ なので、$\alpha_{2025} = 3(2025)(2026)/2 = 6138375$

$2026 \equiv 2 \pmod{4}$ なので、$\alpha_{2026} = 3(2026)(2027)i/2 = 6144429i$

$S = \alpha_{2024} + \alpha_{2025} + \alpha_{2026} = 6138375 + (6144429 - 6132300)i = 6138375 + 12129i$

(2)

$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおく。

原点を通るので、$f(0) = 0$ より、$c = 0$。

よって、$f(x) = ax^2 + bx$。

$f'(x) = 2ax + b$。

点 $(2, f(2))$ での接線が $y = x + 2$ なので、$f'(2) = 1$。

$f'(2) = 4a + b = 1$。

また、点 $(2, f(2))$ は接線上にあるので、$f(2) = 2 + 2 = 4$。

$f(2) = 4a + 2b = 4$ より、$2a + b = 2$。

$4a + b = 1$ と $2a + b = 2$ を解くと、$2a = -1$ より、$a = -1/2$。

$b = 2 - 2a = 2 - 2(-1/2) = 3$。

よって、$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x$。

(3)

$\sin|x| - \sqrt{3}\cos|x| > 1$

$2\sin(|x| - \frac{\pi}{3}) > 1$

$\sin(|x| - \frac{\pi}{3}) > \frac{1}{2}$

$\frac{\pi}{6} < |x| - \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{2} < |x| < \frac{7\pi}{6}$

$-\pi < x \le \pi$ より、$\frac{\pi}{2} < |x| \le \pi$

よって、$\frac{\pi}{2} < x \le \pi$ または $-\pi < x < -\frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $6138375 + 12129i$

(2) $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x$

(3) $-\pi < x < -\frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{2} < x \le \pi$