$y = x^3 - (Q+2)x^2 + Qx$ という関数が与えられています。ここで、$Q \in [0, 2]$ です。$y \leq 0$ の部分とx軸で囲まれた部分の面積 $S(Q)$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = x^3 - (Q+2)x^2 + Qx$ という関数が与えられています。ここで、$Q \in [0, 2]$ です。$y \leq 0$ の部分とx軸で囲まれた部分の面積 $S(Q)$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y$ を因数分解します。

$y = x^3 - (Q+2)x^2 + Qx = x(x^2 - (Q+2)x + Q) = x(x-Q)(x-2)$

次に、$y \le 0$ となる範囲を考えます。$x(x-Q)(x-2) \le 0$ です。$Q \in [0, 2]$ なので、$0 \le Q \le 2$ です。

x軸との交点は、$x = 0, x = Q, x = 2$ です。

$0 \le Q \le 2$ なので、$x$の範囲は、$x \in (-\infty, 0]$ および $[Q, 2]$ で $y \le 0$ となります。

x軸と囲まれた部分の面積 $S(Q)$ は、積分を使って求められます。

$S(Q) = \int_0^Q (0 - y) dx + \int_Q^2 (y - 0) dx = \int_0^Q (-x^3 + (Q+2)x^2 - Qx) dx + \int_Q^2 (x^3 - (Q+2)x^2 + Qx) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_0^Q (-x^3 + (Q+2)x^2 - Qx) dx = [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{Q+2}{3}x^3 - \frac{Q}{2}x^2]_0^Q = -\frac{1}{4}Q^4 + \frac{Q+2}{3}Q^3 - \frac{Q}{2}Q^2 = -\frac{1}{4}Q^4 + \frac{1}{3}Q^4 + \frac{2}{3}Q^3 - \frac{1}{2}Q^3 = \frac{1}{12}Q^4 + \frac{1}{6}Q^3$

$\int_Q^2 (x^3 - (Q+2)x^2 + Qx) dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{Q+2}{3}x^3 + \frac{Q}{2}x^2]_Q^2 = (\frac{1}{4}(2^4) - \frac{Q+2}{3}(2^3) + \frac{Q}{2}(2^2)) - (\frac{1}{4}Q^4 - \frac{Q+2}{3}Q^3 + \frac{Q}{2}Q^2) = (4 - \frac{8}{3}(Q+2) + 2Q) - (\frac{1}{4}Q^4 - \frac{1}{3}Q^4 - \frac{2}{3}Q^3 + \frac{1}{2}Q^3) = 4 - \frac{8}{3}Q - \frac{16}{3} + 2Q - \frac{1}{12}Q^4 + \frac{1}{6}Q^3 = -\frac{1}{12}Q^4 + \frac{1}{6}Q^3 - \frac{2}{3}Q - \frac{4}{3}$

したがって、$S(Q) = (\frac{1}{12}Q^4 + \frac{1}{6}Q^3) + (-\frac{1}{12}Q^4 + \frac{1}{6}Q^3 - \frac{2}{3}Q - \frac{4}{3}) = \frac{1}{3}Q^3 - \frac{2}{3}Q - \frac{4}{3}$

$S'(Q) = Q^2 - \frac{2}{3}$

$S'(Q) = 0$ とすると、$Q^2 = \frac{2}{3}$ となるので、$Q = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

$Q \in [0, 2]$ なので、$Q = \sqrt{\frac{2}{3}}$ を考慮します。

$S(0) = -\frac{4}{3}$

$S(2) = \frac{1}{3}(2^3) - \frac{2}{3}(2) - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 0$

$Q = \sqrt{\frac{2}{3}}$ のとき、$S(\sqrt{\frac{2}{3}}) = \frac{1}{3}(\frac{2}{3})\sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3} = \frac{2}{9}\sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{6}{9}\sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3} = -\frac{4}{9}\sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3} < 0$

面積なので絶対値をとる必要があります。$S(Q) = |\frac{1}{3}Q^3 - \frac{2}{3}Q - \frac{4}{3}|$

$S(0) = \frac{4}{3}$

$S(2) = 0$

$S(\sqrt{\frac{2}{3}}) = |-\frac{4}{9}\sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3}| = \frac{4}{9}\sqrt{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3} = \frac{4}{9}\sqrt{\frac{2}{3}} + \frac{12}{9} = \frac{4}{9}(\sqrt{\frac{2}{3}} + 3)$

最大値は $S(0) = \frac{4}{3}$, 最小値は $S(2) = 0$

3. 最終的な答え

$S(Q)$の最大値は$\frac{4}{3}$、最小値は$0$