関数 $y = x^3 - 2x^2$ が $x \in [0, 2]$ で $y \le 0$ となるとき、区間 $[0, 2]$ におけるこの関数のグラフとx軸で囲まれた部分の面積 $S(0)$ を計算する問題です。 $S(0) = -\int_{0}^{2} (x^3 - 2x^2) dx$ が与えられています。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 2x^2$ が $x \in [0, 2]$ で $y \le 0$ となるとき、区間 $[0, 2]$ におけるこの関数のグラフとx軸で囲まれた部分の面積 $S(0)$ を計算する問題です。 $S(0) = -\int_{0}^{2} (x^3 - 2x^2) dx$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\int (x^3 - 2x^2) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{2} (x^3 - 2x^2) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} \right]_0^2 = \left( \frac{2^4}{4} - \frac{2(2^3)}{3} \right) - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{2(0^3)}{3} \right)$

$= \frac{16}{4} - \frac{16}{3} = 4 - \frac{16}{3} = \frac{12 - 16}{3} = -\frac{4}{3}$

したがって、$S(0) = - \int_{0}^{2} (x^3 - 2x^2) dx = - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$S(0) = \frac{4}{3}$