以下の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1}$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1}$

2. 解き方の手順

$\cos x$ のテイラー展開を考えます。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

したがって、

$\cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots$

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{3}{-\frac{1}{2} + \frac{x^2}{24} - \frac{x^4}{720} + \cdots}$

$= \frac{3}{-\frac{1}{2}} = -6$

別の解法として、ロピタルの定理を使うこともできます。

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{6x}{-\sin x}$

これも $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{6x}{-\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{6}{-\cos x} = \frac{6}{-1} = -6$

3. 最終的な答え

-6