関数 $y = x - \sqrt{x-1}$ ($x \ge 1$) のグラフを描く問題です。

## 問題 (2) のグラフ作成

1. 問題の内容

関数 $y = x - \sqrt{x-1}$ ($x \ge 1$) のグラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、この関数の微分を計算し、増減表を作成してグラフの概形を把握します。

(1) 微分を計算する。

$y = x - \sqrt{x-1}$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$

(2) 導関数が0となる点を求める。

$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 - \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{x-1}} = 1$

$2\sqrt{x-1} = 1$

$\sqrt{x-1} = \frac{1}{2}$

$x-1 = \frac{1}{4}$

$x = \frac{5}{4}$

(3) 増減表を作成する。

| $x$ | 1 | ... | $\frac{5}{4}$ | ... | $\infty$ |

|-------------|-----|---------|----------------|---------|-----------|

| $dy/dx$ | | - | 0 | + | |

| $y$ | 1 | 減少 | $\frac{9}{4}$ | 増加 | $\infty$ |

$x=1$ のとき、$y = 1 - \sqrt{1-1} = 1$

$x=\frac{5}{4}$ のとき、$y = \frac{5}{4} - \sqrt{\frac{5}{4}-1} = \frac{5}{4} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{5}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

(4) グラフの概形を描く。

$x=1$ で $y=1$ から始まり、$x$ が増加するにつれて $y$ は減少します。$x=\frac{5}{4}$ で極小値 $y=\frac{3}{4}$ をとり、その後、$x$ が増加するにつれて $y$ も増加します。

3. 最終的な答え

グラフの概形は、$x=1$ で $y=1$ から始まり、 $x$ が増加すると $y$ は減少し、$x=5/4$ で極小値 $3/4$ となり、その後単調に増加するグラフとなります。正確なグラフを描くには、上記の増減表に基づいて点をプロットし、滑らかな曲線で結びます。

**言葉での最終的な答え:**

$x=1$ で $(1,1)$ から始まり、$\frac{5}{4}$ で極小値 $(\frac{5}{4}, \frac{3}{4})$ をとり、単調増加するグラフ。