曲線 $y = 12x^3 - 12(a+2)x^2 + 24ax$ ($0 \le a \le 2$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を $S(a)$ とする。 (1) $S(a)$ を $a$ を用いて表せ。 (2) $S(a)$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = 12x^3 - 12(a+2)x^2 + 24ax$ ($0 \le a \le 2$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を $S(a)$ とする。

(1) $S(a)$ を $a$ を用いて表せ。

(2) $S(a)$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y=12x^3 - 12(a+2)x^2 + 24ax$ を因数分解して、$x$軸との交点を求める。

$y = 12x(x^2 - (a+2)x + 2a) = 12x(x-a)(x-2)$

よって、$x=0, a, 2$ で $x$ 軸と交わる。$0 \le a \le 2$ より、$0 \le a \le 2$ の範囲において、$y \le 0$ となる範囲は $a \le x \le 2$である。したがって、$S(a)$ は、

$S(a) = - \int_a^2 12x^3 - 12(a+2)x^2 + 24ax dx$

$= -12 \int_a^2 x^3 - (a+2)x^2 + 2ax dx$

$= -12 \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+2}{3}x^3 + ax^2 \right]_a^2$

$= -12 \left[ \frac{1}{4}(16-a^4) - \frac{a+2}{3}(8-a^3) + a(4-a^2) \right]$

$= -12 \left[ 4 - \frac{a^4}{4} - \frac{8a}{3} - \frac{16}{3} + \frac{a^4}{3} + \frac{2a^3}{3} + 4a - a^3 \right]$

$= -12 \left[ 4 - \frac{a^4}{4} - \frac{8a}{3} - \frac{16}{3} + \frac{a^4}{3} + \frac{2a^3}{3} + 4a - a^3 \right]$

$= -12 \left[ -\frac{4}{3} + \frac{4a}{3} - \frac{a^3}{3} + \frac{a^4}{12} \right]$

$= 16 - 16a + 4a^3 - a^4$

$S(a) = - \int_a^2 12x(x-a)(x-2) dx = -12 \int_a^2 (x-a)(x-2)x dx$

$S(a) = 16-16a+4a^3-a^4$

(2)

$S'(a) = -16 + 12a^2 - 4a^3 = -4(a^3 - 3a^2 + 4) = -4(a+1)(a-2)^2$

$0 \le a \le 2$ より、$S'(a) = 0$ となるのは $a = 2$ のとき。

$S'(a)$ の符号は、$0 \le a < 2$ で $S'(a) < 0$。

したがって、$S(a)$ は $0 \le a \le 2$ で単調減少である。

$S(0) = 16, S(2) = 16-32+32-16 = 0$

最大値は $a=0$ のとき $S(0) = 16$。

最小値は $a=2$ のとき $S(2) = 0$。

3. 最終的な答え

(1) $S(a) = 16 - 16a + 4a^3 - a^4$

(2) 最大値: 16, 最小値: 0