$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos x}$ の極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos x}$ の極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を使うことを考えます。$x \to 0$ のとき、$x^2 \to 0$ かつ $1 - \cos x \to 0$ となるため、不定形 $\frac{0}{0}$ の形です。そこで、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子を微分すると $2x$ となります。

分母を微分すると $\sin x$ となります。

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin x}$

となります。$x \to 0$ のとき、$2x \to 0$ かつ $\sin x \to 0$ となるため、再び不定形 $\frac{0}{0}$ の形です。そこで、もう一度分子と分母をそれぞれ微分します。

分子を微分すると $2$ となります。

分母を微分すると $\cos x$ となります。

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos x}$

となります。$x \to 0$ のとき、$\cos x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\cos x} = \frac{2}{1} = 2$

となります。

別の解き方として、$1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$ を使う方法もあります。

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2\sin^2(\frac{x}{2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2(\frac{x}{2})^2} \frac{(\frac{x}{2})^2}{\sin^2(\frac{x}{2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\frac{1}{2}x^2} \frac{(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} \frac{(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}$

$= \lim_{x \to 0} 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$

（ただし、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いました）

3. 最終的な答え

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