与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2}{1 - \cos x} \right)^{x^2} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

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\lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2}{1 - \cos x} \right)^{x^2}

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2. 解き方の手順

まず、$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ であることを利用します。これはロピタルの定理を使うか、または、$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ を利用することで示すことができます。

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\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{x}{2})^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \frac{x^2}{4}}{x^2} = \frac{1}{2}

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したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos x} = 2$ です。

次に、与えられた極限を $y$ と置きます。

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y = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2}{1 - \cos x} \right)^{x^2}

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両辺の自然対数をとると、

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\ln y = \lim_{x \to 0} x^2 \ln \left( \frac{x^2}{1 - \cos x} \right) = \lim_{x \to 0} x^2 \ln \left( \frac{1}{\frac{1 - \cos x}{x^2}} \right)

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\ln y = \lim_{x \to 0} x^2 \left[ - \ln \left( \frac{1 - \cos x}{x^2} \right) \right] = \lim_{x \to 0} - x^2 \ln \left( \frac{1 - \cos x}{x^2} \right)

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ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ であるから、$\lim_{x \to 0} \ln \left( \frac{1 - \cos x}{x^2} \right) = \ln \frac{1}{2} = - \ln 2$ です。

したがって、

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\ln y = \lim_{x \to 0} - x^2 \ln \left( \frac{1}{2} \right) = \lim_{x \to 0} x^2 \ln 2 = 0

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よって、$\ln y = 0$ となり、$y = e^0 = 1$ です。

3. 最終的な答え

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