$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしているので、ロピタルの定理を使うことができます。

まず、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx} (3x^2) = 6x$

分母の微分: $\frac{d}{dx} (\cos x - 1) = -\sin x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{\cos x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{6x}{-\sin x}$

この極限も $\frac{0}{0}$ の形をしているので、再度ロピタルの定理を使います。

分子の微分: $\frac{d}{dx} (6x) = 6$

分母の微分: $\frac{d}{dx} (-\sin x) = -\cos x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{6x}{-\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{6}{-\cos x}$

$x \to 0$ のとき、$\cos x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{6}{-\cos x} = \frac{6}{-1} = -6$

3. 最終的な答え

-6