$0 < a < 9$ を満たす実数 $a$ がある。曲線 $C: y = |(x-3)(x+3)| = |x^2 - 9|$ と直線 $l: y = a$ で囲まれる図形のうち、$y \ge a$ の領域にある部分の面積を $S_1$、$y \le a$ の領域にある部分の面積を $S_2$ とする。$S_1 = S_2$ となる $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < a < 9$ を満たす実数 $a$ がある。曲線 $C: y = |(x-3)(x+3)| = |x^2 - 9|$ と直線 $l: y = a$ で囲まれる図形のうち、$y \ge a$ の領域にある部分の面積を $S_1$、$y \le a$ の領域にある部分の面積を $S_2$ とする。$S_1 = S_2$ となる $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = |x^2 - 9|$ のグラフを考える。$x^2 - 9 = 0$ となるのは $x = \pm 3$ のとき。

したがって、$x < -3$ または $x > 3$ のとき $y = x^2 - 9$、$-3 \le x \le 3$ のとき $y = -x^2 + 9$。

曲線Cと直線lで囲まれる領域の面積をSとすると、$S=S_1+S_2$である。条件より、$S_1 = S_2$なので、$S_1=S_2=\frac{S}{2}$となる。

$S_1 = S_2$となることは、$S_2=\frac{S}{2}$となることと同値である。

このとき、$S_1 = S_2$となることは、$S_2 = \frac{S}{2}$であることを意味するので、$S_2$を計算する。

$S_2$を求めるために、$|(x-3)(x+3)| = a$の解を求める。

$x^2 - 9 = a$の解は$x = \pm \sqrt{9+a}$

$-x^2+9 = a$の解は$x = \pm \sqrt{9-a}$

$S_2 = \int_{-\sqrt{9-a}}^{\sqrt{9-a}} (a-(-x^2+9)) dx + \int_{-\sqrt{9+a}}^{-\sqrt{9}}(a-(x^2-9)) dx + \int_{\sqrt{9}}^{\sqrt{9+a}} (a-(x^2-9)) dx$

$= \int_{-\sqrt{9-a}}^{\sqrt{9-a}} (a+x^2-9) dx + 2\int_{\sqrt{9}}^{\sqrt{9+a}} (a-x^2+9) dx$

$= 2\int_{0}^{\sqrt{9-a}} (a+x^2-9) dx + 2\int_{\sqrt{9}}^{\sqrt{9+a}} (a-x^2+9) dx$

$= 2[ax+\frac{x^3}{3} - 9x]_0^{\sqrt{9-a}} + 2[ax-\frac{x^3}{3} + 9x]_{\sqrt{9}}^{\sqrt{9+a}}$

$= 2(a\sqrt{9-a} + \frac{(9-a)^{3/2}}{3} - 9\sqrt{9-a}) + 2(a\sqrt{9+a}-\frac{(9+a)^{3/2}}{3}+9\sqrt{9+a}) - 2(9a-27+81)$

$= 2(a\sqrt{9-a} + \frac{(9-a)^{3/2}}{3} - 9\sqrt{9-a}) + 2(a\sqrt{9+a}-\frac{(9+a)^{3/2}}{3}+9\sqrt{9+a}) - 2(9a+54)$

曲線Cとx軸で囲まれた面積Sは、$S = \int_{-3}^{3} (9-x^2)dx + 2\int_{3}^{6} (x^2-9)dx = 2\int_{0}^{3} (9-x^2)dx + 2\int_{3}^{6} (x^2-9)dx$

$S = 2[9x-\frac{x^3}{3}]_0^{3} + 2[\frac{x^3}{3}-9x]_{3}^{6} = 2(27-9) + 2(72-54-(9-27)) = 2(18) + 2(18-(-18)) = 36 + 72 = 108$

したがって、$S_2=54$となるaを求める。

$a = 4$のとき、

$S_2 = 2[4x+\frac{x^3}{3} - 9x]_0^{\sqrt{5}} + 2[4x-\frac{x^3}{3} + 9x]_{3}^{\sqrt{13}}$

$= 2(-5\sqrt{5}+\frac{5\sqrt{5}}{3}) + 2(13\sqrt{13}-\frac{13\sqrt{13}}{3} - (13(3)-9(3))) = -\frac{20\sqrt{5}}{3} + 2(\frac{26\sqrt{13}}{3} - 12(3))= - \frac{20\sqrt{5}}{3} + \frac{52\sqrt{13}}{3} - 72$

$y=|x^2-9|$とy=aの交点は$x=\pm \sqrt{9+a}$および$x=\pm\sqrt{9-a}$

したがって、$\int_{-\sqrt{9-a}}^{\sqrt{9-a}} (-x^2+9-a)dx = \int_{-\sqrt{9+a}}^{-3} (x^2-9-a)dx + \int_{3}^{\sqrt{9+a}} (x^2-9-a)dx$

$2\int_0^{\sqrt{9-a}} (-x^2+9-a)dx = 2\int_3^{\sqrt{9+a}} (x^2-9-a)dx$

$[-\frac{x^3}{3}+(9-a)x]_0^{\sqrt{9-a}} = [\frac{x^3}{3}-(9+a)x]_3^{\sqrt{9+a}}$

$-\frac{(9-a)^{3/2}}{3}+(9-a)\sqrt{9-a} = \frac{(9+a)^{3/2}}{3}-(9+a)\sqrt{9+a} -(9-(9+a)3)$

$-\frac{(9-a)^{3/2}}{3}+(9-a)^{3/2} = \frac{(9+a)^{3/2}}{3}-(9+a)^{3/2} - 9 + 27 + 3a$

$\frac{2(9-a)^{3/2}}{3} = \frac{-2(9+a)^{3/2}}{3} + 18 + 3a$

$(9-a)^{3/2}+(9+a)^{3/2} = 27+4.5a$

$a = 0$のとき $27+27 = 54$ これは異なる。

$a = 4$のとき $(5^{3/2}) + (13^{3/2}) = 5\sqrt{5}+13\sqrt{13} = 27+18 = 45$

$S_1=S_2 \Rightarrow \int_{-3}^3(a-(-x^2+9))dx=0$.

$\int_{-3}^3a-(-x^2+9) dx = \int_{-\sqrt{9-a}}^{\sqrt{9-a}}a-(-x^2+9)dx -S1=0$.

$S = \int_{-3}^3 (9-x^2) dx + 2\int_3^6 (x^2-9) dx = 36 + 2(0) = 36$.

$S=108$.

3. 最終的な答え

a = 0