極限 $\lim_{x \to \infty} (3^x - 2^x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \infty} (3^x - 2^x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$3^x$ で括り出すことで、極限を求めやすい形に変形します。

$\lim_{x \to \infty} (3^x - 2^x) = \lim_{x \to \infty} 3^x (1 - (\frac{2}{3})^x)$

$x \to \infty$ のとき、$3^x \to \infty$ であり、$(\frac{2}{3})^x \to 0$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} (1 - (\frac{2}{3})^x) = 1 - 0 = 1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} 3^x (1 - (\frac{2}{3})^x) = \infty \cdot 1 = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$