関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 4$ で定義される曲線 $C$ について、以下の問いに答えます。 (1) 曲線 $C$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求めます。 (2) 点 $(0, a)$ から曲線 $C$ へ異なる3本の接線が引けるような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 4$ で定義される曲線 $C$ について、以下の問いに答えます。

(1) 曲線 $C$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求めます。

(2) 点 $(0, a)$ から曲線 $C$ へ異なる3本の接線が引けるような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。これは接線の傾きを与える関数です。

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9$

次に、点 $(t, f(t))$ における接線の傾きは $f'(t) = 3t^2 + 6t - 9$ となります。

接線の方程式は、点 $(t, f(t))$ を通り、傾き $f'(t)$ の直線の方程式です。これは次の式で表されます。

$y - f(t) = f'(t)(x - t)$

ここで、$f(t) = t^3 + 3t^2 - 9t + 4$ なので、接線の方程式は次のようになります。

$y - (t^3 + 3t^2 - 9t + 4) = (3t^2 + 6t - 9)(x - t)$

$y = (3t^2 + 6t - 9)x - 3t^3 - 6t^2 + 9t + t^3 + 3t^2 - 9t + 4$

$y = (3t^2 + 6t - 9)x - 2t^3 - 3t^2 + 4$

(2)

点 $(0, a)$ から曲線 $C$ へ接線を引くことを考えます。接線の方程式は(1)で求めたものを使います。

$y = (3t^2 + 6t - 9)x - 2t^3 - 3t^2 + 4$

この接線が点 $(0, a)$ を通るので、この座標を代入します。

$a = (3t^2 + 6t - 9)(0) - 2t^3 - 3t^2 + 4$

$a = -2t^3 - 3t^2 + 4$

この式は、$t$ についての3次方程式です。点 $(0, a)$ から曲線 $C$ へ異なる3本の接線が引けるということは、この3次方程式が異なる3つの実数解を持つということです。

$g(t) = -2t^3 - 3t^2 + 4$ と置きます。$g(t) = a$ が異なる3つの実数解を持つ条件を考えます。

$g'(t) = -6t^2 - 6t = -6t(t+1)$

$g'(t) = 0$ となるのは $t = 0, -1$ の時です。

$t = -1$ のとき、 $g(-1) = -2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = 2 - 3 + 4 = 3$

$t = 0$ のとき、 $g(0) = -2(0)^3 - 3(0)^2 + 4 = 4$

したがって、$g(t)$ は $t = -1$ で極大値を持ち、$t = 0$ で極小値を持ちます。極大値は $3$、極小値は $4$ です。

異なる3つの実数解を持つためには、$a$ が極大値と極小値の間になければなりません。

しかし、$g(t)$ の極大値は3,極小値は4であるので、3本の接線は引けないです。

$g(-1)=3, g(0)=4$。 よって、曲線$y=g(t)$は$t=-1$で極大値3をとり、$t=0$で極小値4をとる。

したがって、$-2t^3-3t^2+4=a$が異なる3つの実数解を持つための条件は$3 < a < 4$となる。

3. 最終的な答え

(1) $y = (3t^2 + 6t - 9)x - 2t^3 - 3t^2 + 4$

(2) $3 < a < 4$