与えられた5つの極限値をロピタルの定理を用いて計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{-x^2}}{1 - \cos 3x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x + x^2 - 1}{x^4}$ (3) $\lim_{x \to \infty} x \sin^{-1} \frac{2}{x}$ (4) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\tan x} - \frac{1}{x} \right)$ (5) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

与えられた5つの極限値をロピタルの定理を用いて計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{-x^2}}{1 - \cos 3x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x + x^2 - 1}{x^4}$

(3) $\lim_{x \to \infty} x \sin^{-1} \frac{2}{x}$

(4) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\tan x} - \frac{1}{x} \right)$

(5) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{-x^2}}{1 - \cos 3x}$

$x \to 0$ のとき、分子も分母も0に近づくので、ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dx} (1 - e^{-x^2}) = 2xe^{-x^2}$

$\frac{d}{dx} (1 - \cos 3x) = 3\sin 3x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{2xe^{-x^2}}{3\sin 3x}$

再び $x \to 0$ で分子も分母も0に近づくので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dx} (2xe^{-x^2}) = 2e^{-x^2} - 4x^2e^{-x^2}$

$\frac{d}{dx} (3\sin 3x) = 9\cos 3x$

$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{-x^2} - 4x^2e^{-x^2}}{9\cos 3x} = \frac{2e^0 - 0}{9\cos 0} = \frac{2}{9}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x + x^2 - 1}{x^4}$

$x \to 0$ のとき、分子も分母も0に近づくので、ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dx} (\cos^2 x + x^2 - 1) = -2\cos x \sin x + 2x = -\sin 2x + 2x$

$\frac{d}{dx} (x^4) = 4x^3$

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin 2x + 2x}{4x^3}$

再び $x \to 0$ で分子も分母も0に近づくので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dx} (-\sin 2x + 2x) = -2\cos 2x + 2$

$\frac{d}{dx} (4x^3) = 12x^2$

$\lim_{x \to 0} \frac{-2\cos 2x + 2}{12x^2}$

再び $x \to 0$ で分子も分母も0に近づくので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dx} (-2\cos 2x + 2) = 4\sin 2x$

$\frac{d}{dx} (12x^2) = 24x$

$\lim_{x \to 0} \frac{4\sin 2x}{24x}$

再び $x \to 0$ で分子も分母も0に近づくので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dx} (4\sin 2x) = 8\cos 2x$

$\frac{d}{dx} (24x) = 24$

$\lim_{x \to 0} \frac{8\cos 2x}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

(3) $\lim_{x \to \infty} x \sin^{-1} \frac{2}{x}$

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin^{-1} 2t}{t}$

$t \to 0$ で分子も分母も0に近づくので、ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dt} (\sin^{-1} 2t) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2t)^2}}$

$\frac{d}{dt} (t) = 1$

$\lim_{t \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4t^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 0}} = 2$

(4) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\tan x} - \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x \tan x}$

$x \to 0$ のとき、分子も分母も0に近づくので、ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dx} (x - \tan x) = 1 - \sec^2 x = -\tan^2 x$

$\frac{d}{dx} (x \tan x) = \tan x + x \sec^2 x$

$\lim_{x \to 0} \frac{-\tan^2 x}{\tan x + x \sec^2 x}$

再び $x \to 0$ で分子も分母も0に近づくので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dx} (-\tan^2 x) = -2 \tan x \sec^2 x$

$\frac{d}{dx} (\tan x + x \sec^2 x) = \sec^2 x + \sec^2 x + 2x \sec^2 x \tan x = 2\sec^2 x + 2x\sec^2 x \tan x$

$\lim_{x \to 0} \frac{-2 \tan x \sec^2 x}{2\sec^2 x + 2x\sec^2 x \tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{- \tan x}{\sec^2 x + x\sec^2 x \tan x} = \frac{0}{1 + 0} = 0$

(5) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$

$y = x^{\frac{1}{x}}$ とおくと、$\ln y = \frac{1}{x} \ln x = \frac{\ln x}{x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$

$x \to \infty$ のとき、分子も分母も$\infty$に近づくので、ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx} (x) = 1$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0$

$\lim_{x \to \infty} \ln y = 0$

$\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{9}$

(2) $\frac{1}{3}$

(3) $2$

(4) $0$

(5) $1$