定数 $a$ が与えられたとき、曲線 $y = (x^2 + 2x + a)e^x$ の変曲点の個数を調べる問題です。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、曲線 $y = (x^2 + 2x + a)e^x$ の変曲点の個数を調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = (x^2 + 2x + a)e^x$ を2回微分して、第二導関数を求めます。

1回目の微分：

$y' = (x^2 + 2x + a)'e^x + (x^2 + 2x + a)(e^x)'$

$y' = (2x + 2)e^x + (x^2 + 2x + a)e^x$

$y' = (x^2 + 4x + a + 2)e^x$

2回目の微分：

$y'' = (x^2 + 4x + a + 2)'e^x + (x^2 + 4x + a + 2)(e^x)'$

$y'' = (2x + 4)e^x + (x^2 + 4x + a + 2)e^x$

$y'' = (x^2 + 6x + a + 6)e^x$

変曲点は $y'' = 0$ となる点であり、$e^x > 0$ より、$x^2 + 6x + a + 6 = 0$ を満たす $x$ が存在すれば変曲点となります。

つまり、2次方程式 $x^2 + 6x + a + 6 = 0$ の実数解の個数を求めれば良いことになります。

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = 6^2 - 4(a+6) = 36 - 4a - 24 = 12 - 4a$

判別式 $D$ の符号によって実数解の個数が決まります。

* $D > 0$ のとき、実数解は2個

* $D = 0$ のとき、実数解は1個

* $D < 0$ のとき、実数解は0個

したがって、

* $12 - 4a > 0$、つまり $a < 3$ のとき、変曲点は2個

* $12 - 4a = 0$、つまり $a = 3$ のとき、変曲点は1個

* $12 - 4a < 0$、つまり $a > 3$ のとき、変曲点は0個

3. 最終的な答え

* $a < 3$ のとき、変曲点の個数は2個

* $a = 3$ のとき、変曲点の個数は1個

* $a > 3$ のとき、変曲点の個数は0個