問題は2つあります。 1. 極限 $\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. 極限 $\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を求めよ。

2. $n$ が奇数のとき、 $\sin x = \sum_{l=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} x^{2l+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ ($0 < \theta < 1$) である。$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求めよ。

2. 解き方の手順

問題1:

$\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1})$ を計算する。

$\frac{x-1}{x+1} = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ なので、 $t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to +\infty$ のとき $t \to 0$。

よって、$\lim_{x \to +\infty} x \log(\frac{x-1}{x+1}) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log(\frac{1-t}{1+t}) = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t}$。

ここで、$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ を用いると、

$\log(1-t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \dots$

$\log(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \dots$

したがって、$\log(1-t) - \log(1+t) = -2t - \frac{2t^3}{3} - \dots$

よって、$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-2t - \frac{2t^3}{3} - \dots}{t} = -2$。

または、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\frac{1}{1-t} - \frac{1}{1+t}}{1} = \lim_{t \to 0} -\frac{1+t+1-t}{(1-t)(1+t)} = \lim_{t \to 0} -\frac{2}{1-t^2} = -2$。

問題2:

$\sin x = \sum_{l=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} x^{2l+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ を用いて $\sin \frac{1}{3}$ を小数第4位まで求める。

$\sin x$ のマクローリン展開は $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$ である。

$x = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{(\frac{1}{3})^3}{3!} + \frac{(\frac{1}{3})^5}{5!} - \frac{(\frac{1}{3})^7}{7!} + \dots$

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3^3 \cdot 6} + \frac{1}{3^5 \cdot 120} - \frac{1}{3^7 \cdot 5040} + \dots$

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{27 \cdot 6} + \frac{1}{243 \cdot 120} - \frac{1}{2187 \cdot 5040} + \dots$

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{29160} - \frac{1}{11016000} + \dots$

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.333333 - 0.006173 + 0.000034 - 0.00000009077$

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$

3. 最終的な答え

問題1の答え: -2

問題2の答え: 0.3272