$0 \le x \le 2\pi$ のとき、関数 $y = x - \sqrt{2} \sin x$ のグラフを描け。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2\pi$ のとき、関数 $y = x - \sqrt{2} \sin x$ のグラフを描け。

2. 解き方の手順

まず、導関数を求めて増減を調べます。

$y = x - \sqrt{2} \sin x$

$y' = 1 - \sqrt{2} \cos x$

$y' = 0$ となる $x$ を求める:

$1 - \sqrt{2} \cos x = 0$

$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

増減表を作成する:

| x | 0 | ... | $\frac{\pi}{4}$ | ... | $\frac{7\pi}{4}$ | ... | $2\pi$ |

| ------------- | ----- | -------- | --------------- | -------- | --------------- | -------- | ------ |

| $y'$ | | - | 0 | + | 0 | - | |

| $y$ | 0 | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 | $2\pi$ |

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき:

$y = \frac{\pi}{4} - \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} - \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4} - 1 \approx -0.21$

$x = \frac{7\pi}{4}$ のとき:

$y = \frac{7\pi}{4} - \sqrt{2} \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} - \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{7\pi}{4} + 1 \approx 6.50$

グラフの概形を描くには、いくつかの点をプロットします。

$x = 0$ のとき、$y = 0$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$y = \frac{\pi}{2} - \sqrt{2} \approx 0.157$

$x = \pi$ のとき、$y = \pi$

$x = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$y = \frac{3\pi}{2} + \sqrt{2} \approx 6.155$

$x = 2\pi$ のとき、$y = 2\pi$

これらの情報をもとにグラフを描きます。

3. 最終的な答え

グラフを描く（手書きまたはグラフ作成ツールを使用）。

グラフの形状は、$y=x$の直線に、$-\sqrt{2}\sin x$の波が加わったような形になります。特に、$x=\frac{\pi}{4}$で極小値$\frac{\pi}{4}-1$をとり、$x=\frac{7\pi}{4}$で極大値$\frac{7\pi}{4}+1$をとることに注意します。