関数 $y = \sin(x+a)\cos(x-a)$ を微分せよ。ただし、$a$ は定数である。

## 問題１

1. 問題の内容

関数 $y = \sin(x+a)\cos(x-a)$ を微分せよ。ただし、$a$ は定数である。

2. 解き方の手順

三角関数の積和の公式を利用して、$y$ を簡単な形に変形します。積和の公式は、

$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$

です。これを用いると、

$y = \sin(x+a)\cos(x-a) = \frac{1}{2}[\sin((x+a)+(x-a)) + \sin((x+a)-(x-a))] = \frac{1}{2}[\sin(2x) + \sin(2a)]$

となります。したがって、$y = \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\sin(2a)$ となります。ここで、$a$ は定数なので、$\frac{1}{2}\sin(2a)$ も定数です。

次に、微分を行います。$\frac{d}{dx}\sin(2x) = 2\cos(2x)$ であり、定数の微分は 0 であることを用いると、

$y' = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\sin(2a)) = \frac{1}{2} \cdot 2\cos(2x) + 0 = \cos(2x)$

3. 最終的な答え

$y' = \cos(2x)$

## 問題2

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{a^2\cos^2 x + b^2\sin^2 x}$ を微分せよ。ただし、$a, b$ は定数である。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を用います。まず、$u = a^2\cos^2 x + b^2\sin^2 x$ とおくと、$y = \sqrt{u}$ となります。

$y' = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ であり、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ です。

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(a^2\cos^2 x + b^2\sin^2 x) = a^2 \cdot 2\cos x(-\sin x) + b^2 \cdot 2\sin x \cos x = -2a^2\sin x \cos x + 2b^2\sin x \cos x = 2(b^2 - a^2)\sin x \cos x = (b^2 - a^2)\sin 2x$

したがって、

$y' = \frac{1}{2\sqrt{a^2\cos^2 x + b^2\sin^2 x}} \cdot (b^2 - a^2)\sin 2x = \frac{(b^2 - a^2)\sin 2x}{2\sqrt{a^2\cos^2 x + b^2\sin^2 x}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{(b^2 - a^2)\sin 2x}{2\sqrt{a^2\cos^2 x + b^2\sin^2 x}}$