与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = x^{\sin x}$ (2) $y = x^x$ (3) $y = x^{\log x}$ (4) $y = x^{\sqrt{x}}$ (5) $y = (\sin x)^x$ (ただし $0 < x < \pi$) (6) $y = (\log x)^x$ (ただし $x > 1$) これらの関数をそれぞれ微分します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = x^{\sin x}$

(2) $y = x^x$

(3) $y = x^{\log x}$

(4) $y = x^{\sqrt{x}}$

(5) $y = (\sin x)^x$ (ただし $0 < x < \pi$)

(6) $y = (\log x)^x$ (ただし $x > 1$)

これらの関数をそれぞれ微分します。

2. 解き方の手順

各関数の微分は、対数微分法を用いると便利です。

(1) $y = x^{\sin x}$

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \sin x \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{y'}{y} = \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

$y' = y \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$

$y' = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$

(2) $y = x^x$

両辺の自然対数をとると、

$\log y = x \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{y'}{y} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$y' = y(\log x + 1) = x^x (\log x + 1)$

(3) $y = x^{\log x}$

両辺の自然対数をとると、

$\log y = (\log x)(\log x) = (\log x)^2$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{y'}{y} = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x}$

$y' = y \cdot \frac{2 \log x}{x} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x}$

(4) $y = x^{\sqrt{x}}$

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \sqrt{x} \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \log x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\log x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\log x + 2}{2\sqrt{x}}$

$y' = y \cdot \frac{\log x + 2}{2\sqrt{x}} = x^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\log x + 2}{2\sqrt{x}}$

(5) $y = (\sin x)^x$

両辺の自然対数をとると、

$\log y = x \log (\sin x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{y'}{y} = \log (\sin x) + x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \log (\sin x) + x \cot x$

$y' = y (\log (\sin x) + x \cot x) = (\sin x)^x (\log (\sin x) + x \cot x)$

(6) $y = (\log x)^x$

両辺の自然対数をとると、

$\log y = x \log (\log x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{y'}{y} = \log (\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \log (\log x) + \frac{1}{\log x}$

$y' = y \left( \log (\log x) + \frac{1}{\log x} \right) = (\log x)^x \left( \log (\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

3. 最終的な答え

(1) $y' = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$

(2) $y' = x^x (\log x + 1)$

(3) $y' = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x}$

(4) $y' = x^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\log x + 2}{2\sqrt{x}}$

(5) $y' = (\sin x)^x (\log (\sin x) + x \cot x)$

(6) $y' = (\log x)^x \left( \log (\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$