曲線 $x = 3\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $x = 3\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = 3\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$ から $x$ と $y$ の関係を求めます。

$\cos\theta = \frac{x}{3}$, $\sin\theta = \frac{y}{2}$ であるから、$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ に代入すると、

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$

これは楕円の式であり、$0 \le \theta \le \pi$ なので、$y \ge 0$ の範囲のみです。

面積 $S$ を求めるために、積分を用います。

$S = \int x\,dy$ を計算します。

$x = 3\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$ より、$dx = -3\sin\theta\,d\theta$, $dy = 2\cos\theta\,d\theta$ となります。

$x$ 軸との交点は、$y = 0$ のときなので、$2\sin\theta = 0$ より、$\theta = 0, \pi$ です。

したがって、面積 $S$ は次の積分で与えられます。

$S = \int_{x=3}^{x=-3} y\,dx$

パラメータ表示を用いると、

$S = \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} (2\sin\theta)(-3\sin\theta) d\theta$

ここで、$dx = -3\sin\theta d\theta$ なので、$x$ が $3$ から $-3$ に変化するとき、$\theta$ は $0$ から $\pi$ に変化します。

$S = -\int_{0}^{\pi} 6\sin^2\theta\,d\theta$

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ を用いると、

$S = -6\int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} d\theta = -3\int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2\theta)) d\theta$

$S = -3\left[\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{0}^{\pi} = -3\left[(\pi - \frac{1}{2}\sin(2\pi)) - (0 - \frac{1}{2}\sin(0))\right] = -3\pi$

面積なので正の値を取る必要があるので、

$S = |\int_{x=3}^{x=-3} y\,dx |$

$S = \left| -\int_{0}^{\pi} 6\sin^2\theta\,d\theta\right| = \left|-3\pi\right| = 3\pi$

あるいは

$S = \int_{\pi}^{0} 6\sin^2\theta\,d\theta$

$S = 6\int_{\pi}^{0} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} d\theta = 3\int_{\pi}^{0} (1 - \cos(2\theta)) d\theta$

$S = 3\left[\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{\pi}^{0} = 3\left[(0 - \frac{1}{2}\sin(0)) - (\pi - \frac{1}{2}\sin(2\pi))\right] = -3\pi$

従って、$S = | -3\pi | = 3\pi$.

もしくは

$S = \int_{-3}^{3} y\,dx = \int_{\pi}^{0} 2\sin\theta (-3\sin\theta d\theta) = \int_{\pi}^{0} -6\sin^2\theta\, d\theta = \int_{0}^{\pi} 6\sin^2\theta\, d\theta$

$S = 6\int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 2\theta}{2}\, d\theta = 3 \int_{0}^{\pi} (1-\cos 2\theta)\, d\theta = 3[\theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta]_{0}^{\pi} = 3(\pi - 0 - (0 - 0)) = 3\pi$.

3. 最終的な答え

$3\pi$