曲線 $y = e^{-x}$ と2直線 $y = e$, $y = e^2$, および $y$軸で囲まれる部分を $y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = e^{-x}$ と2直線 $y = e$, $y = e^2$, および $y$軸で囲まれる部分を $y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

$y = e^{-x}$ より $x = -\ln y$ である。

回転体の体積 $V$ は、 $y$軸回転なので、$y$で積分する。

積分区間は、$e \le y \le e^2$。

回転体の体積の公式は、

$V = \pi \int_{e}^{e^2} x^2 dy$

$x = -\ln y$ なので、

$V = \pi \int_{e}^{e^2} (-\ln y)^2 dy = \pi \int_{e}^{e^2} (\ln y)^2 dy$

ここで、$I = \int (\ln y)^2 dy$ を部分積分で求める。

$u = (\ln y)^2, dv = dy$ とすると、

$du = 2 (\ln y) \cdot \frac{1}{y} dy, v = y$

$I = y(\ln y)^2 - \int y \cdot 2 (\ln y) \cdot \frac{1}{y} dy = y(\ln y)^2 - 2 \int \ln y dy$

$J = \int \ln y dy$ を部分積分で求める。

$u = \ln y, dv = dy$ とすると、

$du = \frac{1}{y} dy, v = y$

$J = y \ln y - \int y \cdot \frac{1}{y} dy = y \ln y - \int dy = y \ln y - y$

したがって、

$I = y (\ln y)^2 - 2 (y \ln y - y) = y (\ln y)^2 - 2 y \ln y + 2y$

よって、

$V = \pi [y (\ln y)^2 - 2 y \ln y + 2y]_{e}^{e^2}$

$V = \pi [(e^2 (\ln e^2)^2 - 2 e^2 \ln e^2 + 2 e^2) - (e (\ln e)^2 - 2 e \ln e + 2 e)]$

$V = \pi [(e^2 (2)^2 - 2 e^2 (2) + 2 e^2) - (e (1)^2 - 2 e (1) + 2 e)]$

$V = \pi [(4 e^2 - 4 e^2 + 2 e^2) - (e - 2 e + 2 e)]$

$V = \pi [2 e^2 - e] = \pi e (2 e - 1)$

3. 最終的な答え

$\pi e (2e-1)$