与えられた6つの関数を微分する問題です。 (1) $y = e^{-2x}\sin 2x$ (2) $y = 10^{\sin x}$ (3) $y = \log_x a$ (4) $y = \log(\log x)$ (5) $y = \log(x + \sqrt{x^2 - a^2})$ (6) $y = \log\frac{x^2 - b}{x^2 + b}$ ただし、$a, b$ は定数で、$a > 0$, $a \neq 1$ とします。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を微分する問題です。

(1) $y = e^{-2x}\sin 2x$

(2) $y = 10^{\sin x}$

(3) $y = \log_x a$

(4) $y = \log(\log x)$

(5) $y = \log(x + \sqrt{x^2 - a^2})$

(6) $y = \log\frac{x^2 - b}{x^2 + b}$

ただし、$a, b$ は定数で、$a > 0$, $a \neq 1$ とします。

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{-2x}\sin 2x$ の微分

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = e^{-2x}$ と $v = \sin 2x$ とすると、

$u' = -2e^{-2x}$

$v' = 2\cos 2x$

したがって、

$y' = -2e^{-2x}\sin 2x + e^{-2x}(2\cos 2x)$

$y' = e^{-2x}(-2\sin 2x + 2\cos 2x)$

$y' = 2e^{-2x}(\cos 2x - \sin 2x)$

(2) $y = 10^{\sin x}$ の微分

合成関数の微分法を用います。

$y = 10^u$ と $u = \sin x$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 10^u \log 10$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

したがって、

$y' = 10^{\sin x}(\log 10)(\cos x)$

$y' = (\log 10)10^{\sin x} \cos x$

(3) $y = \log_x a$ の微分

底の変換公式 $\log_x a = \frac{\log a}{\log x}$ を用います。

$y = \frac{\log a}{\log x}$

$\log a$ は定数なので、

$y' = (\log a) \left(-\frac{1}{(\log x)^2}\right) \frac{1}{x}$

$y' = -\frac{\log a}{x(\log x)^2}$

(4) $y = \log(\log x)$ の微分

合成関数の微分法を用います。

$y = \log u$ と $u = \log x$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$

したがって、

$y' = \frac{1}{\log x}\cdot \frac{1}{x}$

$y' = \frac{1}{x\log x}$

(5) $y = \log(x + \sqrt{x^2 - a^2})$ の微分

合成関数の微分法を用います。

$u = x + \sqrt{x^2 - a^2}$ とすると、

$y = \log u$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 - a^2}}(2x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - a^2} + x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

したがって、

$y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - a^2}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 - a^2}}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

(6) $y = \log\frac{x^2 - b}{x^2 + b}$ の微分

対数の性質を利用します。

$y = \log(x^2 - b) - \log(x^2 + b)$

$y' = \frac{2x}{x^2 - b} - \frac{2x}{x^2 + b}$

$y' = \frac{2x(x^2 + b) - 2x(x^2 - b)}{(x^2 - b)(x^2 + b)}$

$y' = \frac{2x^3 + 2xb - 2x^3 + 2xb}{x^4 - b^2}$

$y' = \frac{4xb}{x^4 - b^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 2e^{-2x}(\cos 2x - \sin 2x)$

(2) $y' = (\log 10)10^{\sin x} \cos x$

(3) $y' = -\frac{\log a}{x(\log x)^2}$

(4) $y' = \frac{1}{x\log x}$

(5) $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

(6) $y' = \frac{4xb}{x^4 - b^2}$