与えられた2つの関数を計算する問題です。具体的には、 (3) $y = \sin^4 x \cos^4 x$ (6) $y = (\tan x + \frac{1}{\tan x})^2$ の2つの関数を計算します。問題文は「計算する」とは明示していませんが、通常、このような式が与えられた場合は、式を簡単化したり、値を求めたりすることが期待されます。

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を計算する問題です。具体的には、

(3) $y = \sin^4 x \cos^4 x$

(6) $y = (\tan x + \frac{1}{\tan x})^2$

の2つの関数を計算します。問題文は「計算する」とは明示していませんが、通常、このような式が与えられた場合は、式を簡単化したり、値を求めたりすることが期待されます。

2. 解き方の手順

(3) $y = \sin^4 x \cos^4 x$ の場合:

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ を利用します。

$y = (\sin x \cos x)^4 = (\frac{1}{2} \sin 2x)^4 = \frac{1}{16} \sin^4 2x$

$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ を用いて、$\sin^4 2x$ を計算します。

$\sin^4 2x = (\sin^2 2x)^2 = (\frac{1 - \cos 4x}{2})^2 = \frac{1 - 2\cos 4x + \cos^2 4x}{4}$

さらに $\cos^2 4x = \frac{1 + \cos 8x}{2}$ を用います。

$\sin^4 2x = \frac{1 - 2\cos 4x + \frac{1 + \cos 8x}{2}}{4} = \frac{2 - 4\cos 4x + 1 + \cos 8x}{8} = \frac{3 - 4\cos 4x + \cos 8x}{8}$

よって、

$y = \frac{1}{16} \cdot \frac{3 - 4\cos 4x + \cos 8x}{8} = \frac{3 - 4\cos 4x + \cos 8x}{128}$

(6) $y = (\tan x + \frac{1}{\tan x})^2$ の場合:

$y = (\tan x + \frac{1}{\tan x})^2 = (\tan x + \frac{\cos x}{\sin x})^2 = (\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x})^2$

$y = (\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x})^2 = (\frac{1}{\sin x \cos x})^2 = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}$

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ を利用します。

$y = \frac{1}{(\frac{1}{2} \sin 2x)^2} = \frac{1}{\frac{1}{4} \sin^2 2x} = \frac{4}{\sin^2 2x} = 4\csc^2 2x$

3. 最終的な答え

(3) $y = \frac{3 - 4\cos 4x + \cos 8x}{128}$

(6) $y = 4\csc^2 2x$