関数 $f(x)$ と $g(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続であり、開区間 $(a, b)$ で微分可能で、常に $g'(x) = f'(x)$ であるとき、閉区間 $[a, b]$ で $g(x) = f(x) + C$ が成り立つことを証明する問題です。ただし、$C$ は定数です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ と $g(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続であり、開区間 $(a, b)$ で微分可能で、常に $g'(x) = f'(x)$ であるとき、閉区間 $[a, b]$ で $g(x) = f(x) + C$ が成り立つことを証明する問題です。ただし、$C$ は定数です。

2. 解き方の手順

まず、$h(x) = g(x) - f(x)$ という新しい関数を定義します。

$h'(x)$ を計算すると、

$h'(x) = g'(x) - f'(x)$

問題文の条件より $g'(x) = f'(x)$ なので、

$h'(x) = 0$

これは、$x$ が開区間 $(a, b)$ 内にあるすべての $x$ について成り立ちます。

したがって、開区間 $(a, b)$ 上で $h(x)$ は定数です。つまり、$h(x) = C$ となる定数 $C$ が存在します。

$h(x)$ の定義より、

$g(x) - f(x) = C$

したがって、

$g(x) = f(x) + C$

$f(x)$ と $g(x)$ は閉区間 $[a, b]$ で連続であるため、$h(x) = g(x) - f(x)$ も閉区間 $[a, b]$ で連続です。

したがって、開区間 $(a, b)$ 上で $h(x) = C$ ならば、閉区間 $[a, b]$ でも $h(x) = C$ が成り立ちます。

よって、閉区間 $[a, b]$ において、$g(x) = f(x) + C$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

閉区間 $[a, b]$ で $g(x) = f(x) + C$ （ただし、$C$ は定数）が成り立つ。