与えられた関数 $y = \frac{4}{\sin^2 2x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{4}{\sin^2 2x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y = 4(\sin 2x)^{-2}$ と書き換えます。次に、合成関数の微分法（チェーンルール）を適用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [4(\sin 2x)^{-2}]$

まず、外側の関数 $4u^{-2}$ を $u$ で微分します。

$\frac{d}{du} [4u^{-2}] = -8u^{-3}$

次に、内側の関数 $u = \sin 2x$ を $x$ で微分します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} [\sin 2x] = \cos 2x \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2\cos 2x$

チェーンルールにより、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -8u^{-3} \cdot 2\cos 2x = -16 (\sin 2x)^{-3} \cos 2x = -16 \frac{\cos 2x}{\sin^3 2x}$

$\frac{dy}{dx} = -16 \frac{\cos 2x}{\sin^3 2x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{16\cos 2x}{\sin^3 2x}$