## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた関数の微分を求める問題です。

画像には以下の関数に対する解答が書かれています。

(1) $y = e^{-2x} \sin 2x$

(2) $y = 10^{\sin x}$

(3) $y = \log_a x$ (画像の文脈から推測)

(4) $y = \log (\log x)$

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2. 解き方の手順

それぞれの関数について微分を計算する手順を説明します。

**(1) $y = e^{-2x} \sin 2x$**

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。ここで $u = e^{-2x}$、$v = \sin 2x$ とします。

$u' = -2e^{-2x}$

$v' = 2\cos 2x$

よって、

$y' = (-2e^{-2x}) \sin 2x + e^{-2x} (2 \cos 2x) = e^{-2x}(-2\sin 2x + 2 \cos 2x)$

**(2) $y = 10^{\sin x}$**

合成関数の微分法 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$ を用います。

$u = \sin x$ とおくと、$y = 10^u$ です。

$\frac{dy}{du} = 10^u \log 10$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

よって、

$y' = 10^{\sin x} \log 10 \cdot \cos x = \cos x \cdot 10^{\sin x} \cdot \log 10$

**(3) $y = \log_a x$**

対数の底の変換公式を使うと、$y = \frac{\log x}{\log a}$ と書けます。

$\log a$ は定数なので、

$y' = \frac{1}{\log a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log a}$

**(4) $y = \log (\log x)$**

合成関数の微分法 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$ を用います。

$u = \log x$ とおくと、$y = \log u$ です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$

よって、

$y' = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$

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3. 最終的な答え

以下に各関数の導関数を示します。

(1) $y' = e^{-2x}(-2\sin 2x + 2 \cos 2x)$

(2) $y' = \cos x \cdot 10^{\sin x} \cdot \log 10$

(3) $y' = \frac{1}{x \log a}$

(4) $y' = \frac{1}{x \log x}$