以下の3つの関数について、増減を調べます。 (1) $y = x + \sin x$ ($0 \le x \le 2\pi$) (2) $y = e^x - x$ (3) $y = x - \log x$

1. 問題の内容

以下の3つの関数について、増減を調べます。

(1) $y = x + \sin x$ ($0 \le x \le 2\pi$)

(2) $y = e^x - x$

(3) $y = x - \log x$

2. 解き方の手順

(1) $y = x + \sin x$ ($0 \le x \le 2\pi$)

まず、導関数を求めます。

$y' = 1 + \cos x$

$0 \le x \le 2\pi$において、$\cos x$は$-1 \le \cos x \le 1$の範囲の値を取るので、$y' = 1 + \cos x \ge 0$となります。

$y' = 0$となるのは$\cos x = -1$のとき、つまり$x = \pi$のときですが、$x = \pi$の前後で$y'$の符号は変わらないため、$y$は常に増加します。

(2) $y = e^x - x$

まず、導関数を求めます。

$y' = e^x - 1$

$y' = 0$となるのは$e^x = 1$のとき、つまり$x = 0$のときです。

$x < 0$のとき、$e^x < 1$なので、$y' < 0$となり、$y$は減少します。

$x > 0$のとき、$e^x > 1$なので、$y' > 0$となり、$y$は増加します。

したがって、$x = 0$で極小値をとり、$y$は$x \le 0$で減少し、$x \ge 0$で増加します。

(3) $y = x - \log x$

定義域は$x > 0$です。まず、導関数を求めます。

$y' = 1 - \frac{1}{x}$

$y' = 0$となるのは$1 - \frac{1}{x} = 0$のとき、つまり$x = 1$のときです。

$0 < x < 1$のとき、$\frac{1}{x} > 1$なので、$y' < 0$となり、$y$は減少します。

$x > 1$のとき、$\frac{1}{x} < 1$なので、$y' > 0$となり、$y$は増加します。

したがって、$x = 1$で極小値をとり、$y$は$0 < x \le 1$で減少し、$x \ge 1$で増加します。

3. 最終的な答え

(1) $y = x + \sin x$ ($0 \le x \le 2\pi$): 常に増加

(2) $y = e^x - x$: $x \le 0$で減少し、$x \ge 0$で増加

(3) $y = x - \log x$: $0 < x \le 1$で減少し、$x \ge 1$で増加